Распределение Больцмана. Барометрическая формула (18

Барометрическая формула (18. 4) позволяет найти зависимость числа молекул в единице объема газа от высоты над земной поверхностью. Попрежнему будем считать, что газ находиться в равновесном состоянии при температуре в однородном гравитационном поле ().

Из уравнения Клапейрона - Менделеева следует

 

 

(19. 1)

где - число молекул газа в еденице объема.

 

Подставим выражение (19. 1) в барометрическую формулу, имеем

 

(19. 2)

где - число молекул в единице объема газа при .

Можем написать

 

(19. 3)

где - масса молекулы, - постоянная Больцмана.

Подставляем формулу (19. 3) в соотношение (19. 2), получаем

 

 

(19. 4)

или

 

(19. 5)

 

где - потенциальная энергия молекулы газа в гравитационнм поле Земли.

Следовательно, найденная зависимость (19. 4) от переходит в зависимость (19. 5) от (рис. 19. 1), согласно которой в объеме газа молекул будет больше там, где их потенциальная энергия меньше.

 

 

Рис. 19. 1

 

Больман доказал, что распределение (19. 5) справедливо не только для молекул газа в потенциальном гравитационном поле Земли, но и для совокупности любых одинаковых хаотически движушихся частиц в любом потенциальном силовом поле. Поэтому распределение (19. 5) называют распределение Больцмана.

 

 

Пример 19. 1. Пусть - отношение концентрации молекул водорода к концентрации молекул азота вблизи поверхности Земли, а - соответствующее отношение на высоте . Найти отношение при , полагая, что температура и ускорение свободного падения не зависит от высоты.

 

Дано:	Решение

 

 

 

Ответ: