Распределение Максвелла. Назовем состояние газа равновесным,если параметры состояния газа при отсутствии внешних воздействий остаются неизменными во времени.

Назовем состояние газа равновесным,если параметры состояния газа при отсутствии внешних воздействий остаются неизменными во времени.

Пусть газ находится в равновесном состоянии при температуре . Молекулы газа, непрерывно сталкиваясь между собой, меняют свои скорости, как по направлению, так и по величине. Мы не можем сказать, с какой скоростью станет двигаться произвольно выбранная молекула в той или иной момент времени. В то же самое время мы можем говорить о некотором стационарном (устойчивом) распределении молекул по скоростям: одни молекулы движутся быстро, другие медленно. Но на всякий интервал скоростей, например, от 10 до 20 м/с или от 20 м/с до 30 м/с, будет приходить в среднем (по времени) некоторое определенное число молекул. При отсутствии внешних воздействий установившееся при данной температуре распределение молекул по скоростям в дальнейшем не изменяется.

Определим вероятность того, что модуль скорости молекулы лежит между и . Пусть - общее число молекул в еденице объема газа, а - число молекул в еденице объема газа, скорости которых лежат между и . Тогда искомая вероятность

 

(17. 1)

Введем величину

 

(17. 2)

плотность вероятности, которая является функцией модуля скорости молекулы, в связи с чем её называют функцией распределения вероятности молекул по скорости или просто функцией распределения молекул по скоростям.

Комбинируя формулы (17. 1) и (17. 2), получаем

 

(17. 3)

откуда

 

(17. 4)

Зная вид функции , можно, интегрируя выражение (17. 4), определить количество молекул в еденице объема газа, скорости которых лежат в любом интервале скоростей.

Максвелл теоретически получил вид функции распределения молекул по скоростям:

 

(17. 5)

где и - масса молекулы, и температура газа, - постоянная Больцмана.

Изобразим график функции (17. 5) (рис. 17. 1).

 

Рис. 17. 1

 

Из графика видно, что вероятность обнаружения в газе молекулы со скоростью, лежащей в интервале от до (см. формулу (17. 2)).

 

 

равна заштрихованной площади под кривой .

Вероятность обнаружения в газе молекул с любой скоростью от 0 до

 

(17. 6)

т. е. площадь под всей кривой равна единице. Выражение (17. 6) называют условием нормировки вероятности.

Скорость, соответствующая максимуму функции распрделения , будет наиболее вероятной скоростью молекул. Найдем эту скорость.

Для очевидно

 

.

 

Продифференцируем выражение (17. 5) по и приравняем к нулю.

 

 

При и функция минимальна. Следовательно, эти значения отбрасываем. Остается

-

 

откуда

 

 

Откуда получаем

 

(17.7)

Используя функцию распределения (17. 5), можно найти среднюю и среднюю квадратную скорости молекул:

 

 

(17. 8)

 

(17. 9)