Индексы узлов, узловых прямых и узловых плоскостей.

Если положение данного узла задано вектором , то числа m, n и p по существу являются координатами узла решетки и называются индексами узла.

В пространственной решетке можно провести бесконечное число узловых прямых. Узловые прямые, параллельные между собой, образуют семейство узловых прямых. Для характеристики направления прямых данного семейства достаточно определить направление одной из его прямых – той, которая проходит через начало координат. Положение её по отношению к основным кристаллографическим осям однозначно характеризуется координатами ближайшего к началу координат узла. Таким образом, координаты этого узла являются индексами узловой прямой. Индексы узловых прямых при написании отличают от индексов узлов тем, что первые условились заключать в квадратные скобки (например, [ u, v, w ], а вторые - в двойные квадратные скобки - [ [ u, v, w ] ]).

Пространственная решетка кристалла характеризуется также различными совокупностями параллельных и равноотстоящих друг от друга узловых плоскостей, которые называются семействами узловых

(атомных) плоскостей.

	d1		d2

	d3

 

 

 

Рис. 2. Семейства плоскостей. Межплоскостные расстояния.

Кратчайшее расстояние между соседними плоскостями данного семейства называется межплоскостным расстоянием и обозначается буквой d. На рис. 2 приведены проекции нескольких семейств плоскостей и указаны соответствующие межплоскостные расстояния. Пространственное расположение плоскостей данного семейства однозначно определяется расположением одной из параллельных плоскостей. Для определенности берут плоскость семейства, ближайшую к началу координат, но не проходящую через начало координат.

В общем случае такая плоскость отсекает на координатных осях отрезки, величина которых может быть выражена в долях элементарных трансляций. Пусть, например, плоскость отсекает на осях отрезки a/h, b/k, c/l (рис.3).

Рис. 3. К определению индексов плоскости.

Числа h, k, l, характеризующие наклон плоскости по отношению к основным кристаллографическим осям, являются координатами или индексами данной плоскости и, в то же время, –индексами всего семейства параллельных плоскостей.

Индексы плоскостей принято заключать в круглые скобки – (h k l), причем запятые между h,k,l не ставятся.

По имени ученого, впервые предложившего такое определение индексов, они называются индексами Миллера.

Если h, k, l являются дробными, то индексами семейства служат целые числа – числители, приведенных к общему знаменателю, дробей. Так, например, если плоскости отсекают по оси x отрезок a/2, по оси y – 2b/3, а по оси z –1, т.е. h=2, k=3/2, l=1, то индексы Миллера в данном случае есть (432).

Если плоскость отсекает на какой- либо оси отрезок в отрицательном направлении, то над соответствующим индексом ставится знак минус (например, ()).

Если плоскости семейства параллельны какому-либо из основных кристаллографических направлений, т.е. пересекают его в бесконечности, то соответствующий индекс Миллера равен 0 (например, плоскости семейства (hk0) параллельны оси z).

Если плоскости семейства параллельны какой-либо из координатных плоскостей, т.е. параллельны двум основным осям, то два соответствующих индекса равны 0 (так плоскости (00l) параллельны координатной плоскости xy, а (0k0) – плоскости xz).

Легко убедится, что семейства плоскостей с небольшими межплоскостными расстояниями d_hkl имеют сравнительно большие индексы Миллера, а семейства с большими d_hkl - относительно малые индексы.

Число узлов, приходящихся на единицу площади плоскости данного семейства, называется ретикулярной плотностью. Если рассматривать только такие семейства плоскостей, каждое из которых содержат все узлы решетки, то системы с наибольшими d_hkl будут содержать плоскости с наибольшей ретикулярной плотностью (т.к. число атомов в данном кристалле постоянно).

Геометрический смысл индексов плоскости (hkl) ясен из уравнения плоскости в отрезках, представленного в декартовых координатах X,Y,Z:

 

(4)

 

Уравнение (4) есть уравнение первой от начало координат плоскости семейства hkl.

1. 4. Элементарная ячейка кристалла.

Параллелепипед, построенный на трёх основных векторах и , называется элементарной ячейкой кристалла. Поскольку основные векторы являются периодами идентичности в трёх основных кристаллографических направлениях, то элементарная ячейка является тем наименьшим «кирпичиком» структуры, путём многократного параллельного переноса которого вдоль трёх основных осей может быть мысленно построен весь кристалл.

Доказано, что наиболее рациональным для описания атомной пространственной структуры данного кристалла является выбор основных векторов в соответствии со следующими правилами:

1) симметрия, получающаяся при этом элементарной ячейки, должна соответствовать симметрии решетки;

2) число равных ребер и число равных углов элементарного параллелепипеда должно быть по возможности максимальным;

3) при наличии прямых углов число их должно быть также по возможности максимальным.

При соблюдении первых трех условий объем элементарной ячейки должен быть минимальным из всех возможных.

Величины трех ребер элементарной ячейки (a, b, c), в совокупности с величинами трех углов между осями параллелепипеда () называются параметрами элементарной ячейки. Элементарная ячейка называется простой или примитивной, если атомы (ионы) находятся только в ее вершинах. В сложных элементарных ячейках атомы могут находиться, кроме вершин, на гранях и в объеме. Число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку, в кристаллах химических соединений может изменяться от одного (рис.4а) до десятков, сотен и даже тысяч (последнее - в случае сложных органических соединений).

В непримитивных элементарных ячейках узлы, в которые возможен переход из данного узла путем элементарных трансляций, называется трансляционно-идентичными (в таких узлах обязательно должны располагаться атомы одного сорта), а узлы, в которые нельзя попасть путем таких трансляций – трансляционно-неидентичными между собой. Трансляционно- неидентичные атомы, приходящиеся на одну элементарную ячейку, называют базисными атомами, а совокупность координат всех базисных атомов (узлов)- базисом элементарной ячейки. Базис примитивной ячейки – (000) (рис. 4а). Базис ячейки, у которой, кроме атомов в вершинах имеется атом вцентре объема (так называемая объемноцентрированная ячейка на рис. 4б) -

0 0 0

 

Базис ячейки, у которой кроме атомов в вершине, имеются атомы в центре каждой грани (т.н. гранецентрированная ячейка), рис.4в-

0 0 0

0

0

0

 

 

 

 

Рис.4. Типы элементарных ячеек:

а) примитивная; б) объемноцентрированная; в) гранецентрированная

 

1. 5. Элементы симметрии.

Симметрия – способность твердого тела совмещаться с самим собой в результате его движения или воображаемых операций над ним. Рассмотрим три основных операции симметрии.

1. Ось симметрии n-ого порядка. Если тело совмещается с самим собой при повороте на угол вокруг оси, то ось называется осью симметрии n-ого порядка.

2. Плоскость симметрии. Если тело совмещается с самим в результате зеркального отражения его точек в некоторой плоскости, то эта плоскость называется плоскостью симметрии.

3.Центр симметрии (инверсии). Если тело совмещается с самим собой при инверсии относительно некоторой точки, то эта точка называется центром симметрии или центром инверсии.

Комбинации этих основных элементов симметрии приводит к сложным элементам симметрии, например, к инверсионному повороту, т. е. комбинации поворота с одновременной инверсией и т.п.

При преобразовании рассмотренных выше элементов симметрии хотя бы одна точка остается неподвижной. Поэтому они называются точечными элементами симметрии. В твердых телах и геометрических фигурах возможны оси симметрии любых порядков, в кристаллах же возможны только оси симметрии 1, 2, 3, 4, 6. В них невозможны оси симметрии 5-ого и порядка выше 6-ого. Это ограничение обусловлено тем, что кристаллическое вещество – бесконечная система материальных частиц, симметрично повторяющихся в пространстве. Такие симметричные бесконечные ряды, сетки, решетки, непрерывно заполняющие пространство, несовместимы с осями 5, 7, и других более высоких порядков.