Умножение матриц
Умножение матриц, на первый взгляд кажется более сложным действием, чем простое умножение чисел. Во-первых, не все матрицы могут быть перемножены между собой, и, во-вторых, для тех, которые можно умножать, результат такой операции - обычно третья матрица, должен включать в себя все элементы двух исходных матриц. Правила, которым подчиняется умножение матриц, в общем виде могут быть сформулированы для двух матриц А и В, произведением которых является третья матрица – С. Если мы обозначим каждый элемент в матрице C как Cij, где i и j относятся к строке и столбцу, в котором находится элемент, соответственно, тогда значение Cij получаем из: Cij=ΣAik*Bkj для действия A x B = C. В этом выраженни суммирование проводится от k =1 до максимального значения k, определяемого размером матрицы. Для примера рассмотри умножение двух 2х2 квадратных матриц P и Q, и
возникающую в результате новую матрицу R: R11 = P11 * Q11 + P12 * Q21 = 1 x 3 + 2 x (-2) = -1 R12 = P11 * Q12 + P12 * Q22 = 1 x 1 + 2 x 0 = 1 R21 = P21 * Q11 + P22 * Q21 = 3 x 3 + 1 x (-2) = 7 R22 = P21 * Q12 + P22 * Q22 = 3 x 1 + 1 x 0 = 3 Следует отметить, что эта операция подразумевает особый порядок при проведении умножения, т.е. P x Q. Противоположный порядок – Q x P приведёт к иным элементам матрицы, таким как например R'11 = Q11 * P11 + Q12 * P21 = 3 x 1 = 1 x 3 = 6 который в данном случае полностью отличается от R11. Это показывает важные отличия между умножением матриц и умножением чисел. Простое умножение коммутативно, т.е. 2 х 3 = 3 х 2, однако умножение матриц коммутативно только тогда, когда обе матрицы симметричны относительно главной диагонали.
|
