Вывод уравнения неразрывности.Уравнение неразрывности либо сплошности выражает один из фундаментальных законов природы - закон сохранения массы применительно к жидкой среде. Рассмотрим объем V, ограниченный поверхностью S (рис. 4.2). Выделим элемент поверхности dS. Пусть - орт внешней нормали, а - вектор скорости. Через выделенный элемент dS в единицу времени внутрь объема проникает масса жидкости .
(знак минус, т.к. направления и противоположны). Секундная масса, проникающая в объем через всю поверхность, . С другой стороны, приток жидкости в объем приводит к изменению ее массы. При этом, поскольку выделенный объем является постоянным, изменение массы может происходить только за счет изменения ее плотности. Скорость изменения массы можно представить как , либо с учетом того, что , можно записать . Очевидно, что изменение массы внутри объема должно быть равно массе, поступившей в него извне, т.е. Применяя преобразование Гаусса-Остроградского, получим: , либо . Равенство нулю интеграла возможно лишь при условии . (4.3) Это и есть уравнение неразрывности. Поскольку при выводе его не делалось никаких ограничений, то оно справедливо как для установившегося, так и для неустановившегося движений сжимаемой и несжимаемой жидкости. Уравнение (4.3) относится к числу фундаментальных уравнений механики жидкости.
|