Указания к решению задач Д-3

Задача Д-3.0. Задача решается с помощью теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно точки : . Кинетический момент системы состоит из кинетического момента барабана и кинетического момента груза . Кинетический момент вычисляется по формуле кинетического момента вращающегося твёрдого тела, а – по формуле кинетического момента точки (груз принимаем за материальную точку). По ходу решения задачи получаем угловое ускорение const, т.е. барабан вращается равноускоренно. Тогда угол поворота , измеряемый в радианах. Число оборотов определяется по формуле .

 

Задача Д-3.1. Задача решается в два этапа. На первом этапе следует применить теорему об изменении количества движения системы в проекции на ось . Проекция количества движения системы на ось складывается из проекций количеств движения грузов. Количество движения барабана равно нулю, т.к. центр тяжести барабана находится в покое. Проекции внешних сил складываются из сил тяжести грузов, барабана и реакции опоры.

На втором этапе для определения ускорения грузов применяется теорема об изменении кинетического момента системы относительно точки : .

 

Задача Д-3.2. На систему действуют силы тяжести , вращающий момент и реакции опоры . Реакции опоры можно не определять, если применить теорему об изменении кинетического момента относительно оси, проходящей через центр : . Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим . С другой стороны кинетический момент данной системы равняется

. Определив постоянную интегрирования при по начальной скорости , можно найти угловую скорость при с.

 

Задача Д-3.3. Рекомендуется применить теорему об изменении количества движения механической системы в проекции на ось , где за ось принята прямая, по которой движется балка . При определении главного вектора количеств движения на ось необходимо учесть, что скорость тележки состоит из переносной скорости балки и относительной скорости тележки, определяемой по уравнению . Внешними силами являются силы трения между балкой и опорами.

 

Задача Д-3.4. На системудействуют внешние силы: силы тяжести стержня и груза; реакции опор в точках и ; вращающий момент. Чтобы не учитывать реакции опор, рекомендуется применить теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси вращения: . Далее действовать по схеме, рекомендованной в задаче Д-3.2. Моменты инерции стержня и материальной точки определяются по известным формулам.

 

Задача Д-3.5. См. указания к задаче Д-3.4.

Задача Д-3.6. Ход решения задачи совпадает с Д-3.5. Здесь следует учесть, что момент инерции диска относительно оси вращения определяется формулой Гюйгенса-Штейнера: . Момент инерции груза , если груз находится в точке . Естественно, что .

 

Задачи Д-3.7–Д-3.9. На механическую систему действуют внешние силы: силы тяжести плиты и груза; реакция горизонтальных направляющих, численно равная давлению плиты на эти направляющие. Сумма проекций всех сил на ось равна нулю. Тогда проекция главного вектора количеств движения на ось постоянна: . Здесь , а проекция абсолютной скорости груза на ось складывается из переносной скорости плиты и проекции на ось относительной скорости груза, определяемой по заданному закону . Необходимо найти в момент времени и в произвольный момент времени . Так как постоянна, то приравнивая правые части полученных выражений, найдем скорость плиты как функцию времени. Дифференцируя это уравнение, получим ускорение плиты. Интегрируя это уравнение, найдем закон движения плиты . По начальному условию определяем постоянную интегрирования . Подставляя в полученные уравнения с, найдем искомые величины.

Для определения силы нормального давления плиты на направляющие следует применить теорему об изменении количества движения механической системы в проекции на ось (см. указания к задаче Д-3.1) или применить теорему о движении центра масс системы (см. пример решения задачи №12).