Моделирование технических систем с применением теории подобия

Цель работы: ознакомиться с основными положениями теории подобия, приобрести навыки практического применения моделирования технических систем.

 

4.1. Теоретический раздел

Параметрами системы являются величины, характеризующие ее элементы и воздействующие на нее внешние объекты.

Обобщенные координаты могут изменяться с течением времени, или от точки к точке. Например, для системы: груз массой т, колеблющийся на пружине жесткости с при ускорении свободного падения g, обобщенной координатой, является отсчитываемое от некоторого начального положения вертикальное смещение груза х, параметры т, g, с.

Из множества параметров данной системы выделим минимально возможное количество параметров, достаточное для однозначного определения состояния системы; эти параметры между собой независимы, они называются основными, или определяющими [6].

Пусть имеются две системы одинаковой физической природы, состоящие из одинакового числа аналогичных элементов, которые играют в обеих системах одинаковую роль. Одна система будет являться моделью, другая система - натурой, относящиеся к ним величины обозначаются соответственно индексами м, н.

Система определяется s независимыми (основными) параметрами и имеет n независимых обобщенных координат .В целях единообразия время и начальные условия включаются в число параметров, индекс i имеет значения 1, 2,..., n, а индекс k — значения n+ 1 ,..., n+s.

Обобщенные координаты этих систем являются одинаковыми функциями параметров:

, (4.1)

. (4.2)

Две системы называют подобными, если их любые две соответствующие обобщенные координаты для любых сходственных моментов времени (сходственных точек пространства) пропорциональны, т. е. две системы подобны, если

, (4.3)

где = const, , = const, — сходственныемоменты времени.

Таким образом, если известно, что две системы подобны и можно найти коэффициенты подобия , то, зная поведение одной системы (модели), можно знать и то, как будет вести себя другая система (натура).

При наличии динамического подобия очень легко устанавливается связь между всеми кинематическими и динамическими характеристиками систем.

Так, для скоростей характерна связь

, (4.4)

где - скорость натуры, км/ч; - скорость модели, км/ч; - отношение длин натуры и модели; - отношение времен изменения динамических характеристик; - отношение скоростей движения натуры и модели.

Для ускорений

, (4.5)

где - отношение ускорений натуры и модели.

Отношение работ натуры и модели

, (4.6)

где - отношение масс натуры и модели.

Отношение работ натуры и модели

(4.7)

или

, (4.8)

где - отношение сил натуры и модели; - отношение коэффициентов использования натуры и модели.

Если системы — две динамически подобные машины одинаковых размеров (или одна и та же машина, но в двух различных режимах), т. е. = 1, = 1, то F_с = — приложенные к соответствующим точкам машин силы относятся так же, как квадраты скоростей точек машин. Отношение мощностей обеих машин в этом случае , так что, если скорость машины возросла вдвое, силы увеличатся в 4 раза, мощность в 8 раз.

При моделировании процесса или машины составляются критерии подобия, равенство которых обеспечивает подобие модели и натуры. При решении конкретной задачи возникают трудности следующего характера:

1. Известны не все определяющие параметры данного явления;

2. Среди определяющих параметров можно выделить такие, влияние которых на процесс наиболее значительно и такие, влияние которых сравнительно невелико.

В таком случае при моделировании приходится использовать те параметры, которые известны; или исключать из рассмотрения параметры, влияние которых незначительно; пользоваться усредненными значениями переменных величин.

О возможной погрешности моделирования часто можно судить по результатам исследования модели, выясняя значение различных параметров и критериев подобия для характеристики процесса.

Приняв автомобиль УАЗ-31512 в качестве модели, необходимо определить, в какой мере соблюдается динамическое подобие его с автомобилем УАЗ-3741.

В этом случае

, (4.9)

где - длина автомобиля УАЗ-3741, м; - длина автомобиля УАЗ-31512, м (таблица 4.1).

Отношение масс автомобилей

, (4.10)

где и - масса автомобилей УАЗ-3741 и УАЗ-31512 соответственно, кг.

Отношение скоростей

, (4.11)

где и - скорости автомобилей УАЗ-3741 и УАЗ-31512 соответственно, км/ч.

Отношение времен совершающихся процессов

. (4.12)

Отсюда выражение для мощности

. (4.13)

По данным из таблицы 4.1 определим отношение мощностей

, (4.14)

где и - мощности автомобилей УАЗ-3741 и УАЗ-31512 соответственно, л.с.