Нахождение первообразной по начальным или граничным условиям

При интегрировании функции получается совокупность её первообразных. Для выделения из всей совокупности конкретной первообразной задают дополнительные данные, которые называют начальными условиями (если аргументом является параметр времени t) или граничными условиями (если аргументом являются координаты x, y, z).

При решении таких задач используют следующий алгоритм:

1. Находят неопределённый интеграл от заданной функции.

2. Вычисляют величину постоянной С, подставляя начальные условия в совокупность первообразных для заданной функции.

3. Находят искомую первообразную, заменяя в совокупности первообразных постоянную интегрирования её вычисленным значением.

Пример. Найти функцию, производная которой равна , если известно, что при функция принимает значение, равное 25.

Решение.

1. Из условия следует, что искомая функция является первообразной функции ; поэтому, взяв неопределённый интеграл от найдём все первообразные указанной функции:

.

2. Из полученного выражения , определяющего все первообразные функции , найдём теперь искомую первообразную функцию. Используя дополнительное условие (значение искомой функции равно 25 при ), найдём определённое значение постоянной интегрирования С; имеем , откуда С =19.

3. Итак, искомая функция имеет вид .

Пример. Найти функцию, обращающуюся в нуль при , если производная этой функции имеет вид .

Решение.

1. Все первообразные функции имеют вид: .

2. При первообразная функция равна нулю, поэтому С =0.

3. Искомая функция имеет вид: .

Составление уравнения движения точки по заданному уравнению скорости или ускорения её движения

Из кинематики точки известно, что уравнение движения точки при векторном способе задания её движения имеет вид: , где – радиус-вектор точки, t – время (уравнение движения определяет зависимость радиуса-вектора точки от времени). По определению скорость точки есть первая производная от радиуса-вектора точки по времени: . По определению ускорение точки есть первая производная от скорости точки по времени или вторая производная от радиуса-вектора точки по времени: .

При координатном способе задания движения точки уравнения движения имеют вид (для декартовой системы координат):

Здесь x, y, z – координаты точки, t – время (уравнения движения определяют зависимость координат точки от времени). По определению проекции скорости точки есть первые производные от соответствующих координат: . По определению проекции ускорения точки есть первые производные от соответствующих проекций скоростей точки по времени или вторые производные от соответствующих координат точки по времени: .

Пример. Точка движется прямолинейно и ось 0Х декартовой системы координат совпадает с траекторией точки. Проекция ускорения на ось 0Х изменяется со временем по закону . Найти уравнение движения и зависимость . В момент времени проекция скорости , координата .

Решение.

1. Имеем .

2. Используя начальные условия: . Отсюда:

.

3. Следовательно: .

4. Имеем .

5. Используя начальные условия: .

Отсюда: .

6. Следовательно: .