Актуальная и потенциальная бесконечности

Опубликование Г.Кантором первых работ по теории множеств в 70-х — начале 80-х годов прошлого столетия, вводящих в рассмотрение так называемые мощности актуально бесконечных множеств и арифметики бесконечных чисел, вызвало сразу же серьезное сопротивление как в среде математиков, так и в среде философов. Вопрос о существовании актуально бесконечных множеств был классическим философским вопросом, и господствующим мнением здесь со времен античности было отрицание самой возможности таких множеств. Кантор же претендовал давать какие-то градации этих невозможных бесконечностей. Ситуация была довольно скандальной, и Кантору пришлось достаточно рано вступить не только в математическую, но и в философскую дискуссию. Точнее, положение было еще драматичней: говоря с математиками, Кантор был вынужден использовать философскую терминологию, чтобы хоть как-то оправдать всю необычность своих подходов, а полемизируя с философами, использовать свои новые математические конструкции, ибо только они могли конкретно показать ограниченность старых представлений^[2]. Так один из основных первоначальных трудов Кантора по теории множеств, специально обсуждающий концепцию бесконечных чисел, называется “Основы общего учения о многообразиях. Математически — философский опыт учения о бесконечном”. Он был выпущен отдельной брошюрой в 1883 году. В предисловии к этой работе Кантор откровенно пишет: “Публикуя это сочинение, я не могу не упомянуть, что когда я писал его, то я имел в виду главным образом двоякого рода читателей: с одной стороны, философов, следивших за развитием математики вплоть до новейшего времени, а с другой — математиков, которые знакомы с важнейшими фактами древней и новой философии”^[3]. Как видим, требования к читателю были достаточно высокие. А поскольку большинство математиков и философов второй половины XIX века уже не удовлетворяло им, постольку работы Кантора раздражали как одних, так и других. Достаточно широкий научный кругозор как требуемое условие “безболезненного” восприятия и в особенности обсуждения новой теории был моментом, существенно затруднившим ее вхождение в научный обиход.

Введение актуальной бесконечности как базисного научного понятия в математику, как почти всякое значительное нововведение в науке, создало столько же новых проблем, сколько и позволило решить старых. Точнее говоря, создало, конечно же, больше. Однако с самого начала удалось провести аккуратное различение понятий в области, где столь долгое время было много путаницы. Кантор, вслед за Больцано, настойчиво объяснял различие актуальной и потенциальной бесконечностей. “Что касается математической бесконечности,... она, как мне кажется, выступает прежде всего в значении некоторой переменной, то растущей вверх всяких границ, то убывающей до произвольной малости, но всегда остающейся конечной величиной. Такое бесконечное я называю несобственно бесконечным” ^[4]. Вместе с этим понятием несобственной (или потенциальной) бесконечности в математике встречаются примеры и другого рода, пишет Кантор. Таково, например, использование бесконечно удаленной точки комплексной плоскости в теории функций комплексной переменной. Здесь эту точку рассматривают в собственном смысле, т.е. рассматривают ее окрестности, поведение функции в этой точке и т.д. Благодаря преобразованиям, изучаемым в этой теории, бесконечно удаленная точка становится равноправной со всеми другими конечными точками плоскости. “Если бесконечное выступает в подобной вполне оправданной форме, то я называю его собственно бесконечным” ^[5]. Действительно, с XVII столетия в математике начинают использовать актуально бесконечные величины. Наряду с бесконечно удаленной точкой в проективной геометрии рассматривают также бесконечно удаленные прямые и плоскости. Основное понятие математического анализа — дифференциал — также рассматривался многими как актуально бесконечно малая^[6].

Кантор четко различает три типа величин: конечные, потенциально бесконечные и актуально бесконечные. Вторые не есть собственно бесконечные, а представляют собой лишь переменное конечное. Собственно бесконечное, как вводит его Кантор, представляет собой одновременно и определенное бесконечное, бесконечные порядковые числа. Эта точка зрения находилась в вопиющем противоречии с более чем двухтысячелетней традицией понимания бесконечного. Патриархом этого понимания был Аристотель, настойчиво утверждавший: может существовать только потенциальная бесконечность. “Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, а взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным. Так что бесконечное не следует брать как определенный предмет, например как человека или дом, а в том смысле, как говорится о дне или состязании, бытие которых не есть какая-либо сущность, а всегда находится в возникновении и уничтожении, и хотя оно конечно, но всегда разное и разное”^[7]. Это настойчивое отталкивание античной мысли от актуально бесконечного, понимание бесконечного только как процесса, как становления, бесконечность которого, собственно, сводилась к непрерывности становления, имеют свою основу в особом отношении античной мысли, — и шире: всей культуры, — к форме, в почитании формы, обожествлении ее^[8]. Бесконечное есть для античности неоформленное, безобразное, не ставшее и на основании всего этого как бы несуществующее.

Христианство внесло здесь свою существенную поправку: в сознание европейской культуры вошла актуально бесконечная сущность: Бог-Творец. И тут обозначились (и реализовались) разные возможности. Те, кто признавал исходную несоизмеримость Бога и человека, Творца и Твари, в частности божественного ума и человеческого, смиренно преклонялись перед тайной божественного всемогущества, всеведения, вечности, короче, перед тайной божественной бесконечности. О ней мы можем знать только через откровение и только через смирение верующего ума открываются человечеству высшие тайны познания. Другая точка зрения также говорила об откровении, но больше об откровении естественном (а не историческом), в природе, в твари, и в особенности об образе Божием, отраженном в человеке. Человек был сотворен живой личностью, он обладал разумом, волей, чувством, творческими способностями. Это соблазняющее богоподобие^[9] человека открывало также путь и к спекулятивному богословию, к выведению знания о Боге не из откровения, а из рассуждений, из интеллектуальных и философских конструкций. Традиция спекулятивного богословия мощно расцвела внутри западноевропейской схоластики, пережила ее и существенно повлияла на становление новоевропейской науки. Интенциями именно этой традиции питалась и мысль Кантора.

Кантор как раз и хотел взять бесконечность “как человека или дом”, говоря словами Аристотеля, как некий целый законченный предмет, как бесконечное число. И более того. Это число оказывалось не единственным (традиционно обозначавшимся символом ¥). Область бесконечных чисел оказывалась сама бесконечной, со своими особыми свойствами. Вся идущая от античности огромная традиция критики возможности актуально бесконечного есть для Кантора лишь постоянно повторяющийся паралогизм. “Все так называемые доказательства невозможности актуально бесконечных чисел являются, — как это можно показать в каждом отдельном случае и заключить из общих соображений, — ошибочными по существу и содержат prоton feаdoj^[10] в том, что в них заранее приписывают или, скорее, навязывают рассматриваемым числам все свойства конечных чисел. Между тем бесконечные числа, если только вообще их приходится мыслить в какой-нибудь форме, ввиду своей противоположности конечным числам, должны образовывать совершенно новый вид чисел, свойства которых зависят исключительно от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола и наших предрассудков”^[11]. Собственно, в разоблачении этих “предрассудков” и состоит в основном канторовская критика предшествовавших философских воззрений, направленных против актуальной бесконечности. Кантору пришлось вести эту полемику, так как и в среде математиков, и в среде философов сразу же после опубликования первых результатов по теории ординалов (бесконечных чисел) большинство, как мы уже сказали выше, выступило против этой опрокидывающей традиционные представления теории.

Однако прежде чем разбирать детали этой полемики, нам необходимо иметь элементарное представление о теории множеств.