В) Свойства квантилей нормального распределения.

Первое свойство. Симметричность.

Пусть p<0,5. Тогда , где x – решение уравнения .

Теперь найдем квантиль . Так как , то , где x – решение уравнения .

Таким образом,

; . Следовательно , т.е. квантили u_p и u_1–p – симметричны.

 

Задача № 3

 

Показать симметричность квантилей u_0,25 и u_0,75.

Решение. , где x – решение уравнения

x=0,675. u_0,25=–0,675.

, где x –решение уравнения ;

x=0,675. u_0,75=0,675.

Второе свойство. Возможность определения попадания на заданный интервал. .

Задача № 4

 

Определить вероятность попадания стандартной нормально распределенной величины на интервал – 0,6¸0,8.

Решение.

, .

; , .

; , .

.

 

2. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности.

.

Равенство означает, что с вероятностью b неизвестные значения параметра а попадает в интервал . В данном случае величина а не случайна, но случаен интервал . При этом b следует толковать как вероятность того, что случайный интервал накроет точку а. Вероятность b есть доверительная вероятность, а интервал – доверительный интервал.

 

3. Использование квантилей для определения границ доверительного интервала.

 

Использование второго свойства квантилей позволяет по заданной доверительной вероятности определить границы доверительного интервала . Для однозначности доверительный интервал располагаем симметрично относительно оцениваемой величины. Таким образом, если левая граница , то правая граница .

Тогда, по второму свойству

; ; ;, а следовательно, по полученным значениям и легко будут найдены величины и – границы доверительного интервала.

 

Задача № 5

 

Найти границы доверительного интервала, если случайная величина распределена по нормальному закону с промежутками , , а доверительная вероятность .

Решение.

1. Определение уровней квантилей.

2. Определение границ доверительного интервала для стандартной случайной величины.

. . .

. . .

3. Определение границ доверительного интервала для исходной случайной величины:

. .