Вивчення прецесії гіроскопа

 

Мета лабораторної роботи:

Ознайомлення з особливостями руху гіроскопа. Визначення кутової швидкості прецесії і моменту інерції гіроскопа.

 

Деякі теоретичні положення

Гіроскопом називається масивне симетричне тверде тіло, яке здатне обертатись навколо власної осі симетрії з великою кутовою швидкістю (рис.1).

 

 

Рис.1

Встановлено, що якщо вісь гіроскопа, який обертається з великою кутовою швидкістю, розташована вертикально, то його обертання може тривати дуже довго. Якщо вісь відхилиться від вертикалі, то гіроскоп, не впаде, а буде здійснювати так званий прецесійний рух, його вісь буде описувати поверхню кругового конуса з вершиною у точці опори (рис.2).

Рис.2

 

Прецесія – це складний рух, яке складається з обертання гіроскопа навколо двох осей, які перетинаються. Навколо власної осі він обертається з кутовою швидкістю , а навколо нерухомої вертикальної осі з кутовою швидкістю . Точка перетину двох осей є єдиною нерухомою точкою гіроскопа. У прикладі, який розглядається на рис.2, – це точка опори гіроскопа на горизонтальну поверхню. У загальному випадку прецесійного руху нерухомою може бути будь яка точка осі гіроскопа, наприклад його центр мас.

Кутова швидкість обертання гіроскопа навколо власної осі називається кутовою швидкістю власного обертання. Кутова швидкість , з якою вісь гіроскопа обертається навколо нерухомої осі, називається кутовою швидкістю прецесії. Зазвичай кутова швидкість власного обертання гіроскопа не набагато більшою за кутову швидкість прецесії.

Якщо на вісь гіроскопа діє деяка сила, яка створює момент сили , то момент імпульсу відносно точки (головний момент імпульсу) змінюється у відповідності з рівнянням моментів

. (1)

Аналіз рівняння (1) спрощується внаслідок того, що кутова швидкість обертання гіроскопа дуже велика. Це означає, що головний момент імпульсу практично направлений по осі гіроскопа. Момент зовнішніх сил направлений перпендикулярно до осі гіроскопа, тобто практично перпендикулярно до головного моменту імпульсу . Елементарне прирощення моменту імпульсу повинно бути направлене перпендикулярно до вектора моменту імпульсу у напрямку, паралельному вектору моменту зовнішніх сил . Таке прирощення спричинить зміну напрямку вектора моменту імпульсу , тобто зміну напрямку осі гіроскопа. Якщо при цьому вісь гіроскопа повертається на кут , то відповідна зміна модуля вектора моменту імпульсу буде дорівнювати

(2)

Якщо при зміні напряму осі на кут момент зовнішньої сили повернеться на такий же кут і не змінить свою величину, то ситуація у новому положенні гіроскопа буде аналогічною, тобто відбудеться так ж сама зміна напряму осі обертання гіроскопа за наступний момент часу , тобто під дією постійного моменту сил виникне обертання осі гіроскопа з постійною кутовою швидкістю При цьому зміна моменту імпульсу за одиницю часу, рівне , буде визначатися рівнянням (1) і дорівнювати

. (3)

Враховуючи, що для гіроскопа, який швидко обертається,

, (4)

де - момент інерції гіроскопа відносно його осі, одержимо формулу для визначення модуля вектора кутової швидкості прецесії

. (5)

Отже, обертання осі гіроскопа з кутовою швидкістю відносно його осі під дією постійного моменту сил, називається прецесією гіроскопа.

 

Опис приладу та методики вимірювань

 

Прилад (рис.3) складається з електричного моторчика А, закріпленого в обоймі В. Обойма опирається на вертикальний стрижень С і може обертатись навколо горизонтальної осі, а разом зі стрижнем – навколо вертикальної. Власне гіроскопом є ротор моторчика з масивним диском Е. Момент зовнішніх сил, прикладених до гіроскопа, може змінюватись при переміщенні вантажу К по стрижню обойми. Прилад має також електронний блок G, у склад якого входять: система вимірювання швидкості обертання моторчика, електронний таймер, фотоелектрична система вимірювання кута повороту гіроскопа навколо вертикальної осі.

 

Рис.3

Увімкнення моторчика здійснюється шляхом виведення ручки «скорость вращения» 1 із крайнього лівого положення. Подальше обертання цієї ручки за годинниковою стрілкою приводить до збільшення швидкості обертання моторчика. Стрілковий прилад 2 на панелі блоку показує швидкість обертання моторчика.

Увімкнення електронного таймера і фотоелектричної системи вимірювання кута повороту гіроскопа навколо горизонтальної осі здійснюється шляхом натискання клавіші «сеть» 3. При натисканні на клавішу «сброс» 4 здійснюється обнулювання табло електронного блока 6, 7. Після натискання на клавішу «сброс» здійснюється запуск фотоелектронної системи вимірювання кута і електронного таймера в момент, коли світловий потік попадає на фотоелемент системи через один з прорізів на циліндричній діафрагмі D, яка обертається разом з гіроскопом навколо вертикальної осі. Після натискання на клавішу «стоп» 5 здійснюється зупинка вимірювання часу і кута при черговому попаданні світлового пучка на фотоелемент системи. Кутову швидкість прецесії одержують шляхом ділення зафіксованого на табло 7 електронного блока значення кута на відповідний час .

 

Порядок виконання роботи

1. Закріпіть вантаж К на стрижні обойми так, щоб увесь прилад знаходився у байдужій рівновазі. Вісь гіроскопа встановіть горизонтально.

2. Увімкніть моторчик і зачекавши 2-3 хвилини, доки ротор не почне обертатись з номінальним числом оборотів.

3. Зміщенням вантажу К створіть момент сили тяжіння М. Величина цього моменту визначається за формулою , де - заданий модуль ваги вантажу, - відстань цього вантажу від його початкового положення, яка вимірюється за шкалою на стрижні.

4. Виміряйте величину кутової швидкості прецесії при різних значеннях моменту (при різних значеннях плеча ). Треба зробити 3-4 вимірювання для кожного значення швидкості обертання ротора (рекомендовані значення швидкості обертання 2000, 4000 і 6000 обертів за хвилину). При стійкій роботі моторчика в межах похибки вимірювань повинна виконуватись така умова

. (6)

5. Скориставшись формулою (6) визначте середнє арифметичне значення величини для кожного значення кутової швидкості обертання ротора .

6. За формулою (4) обчисліть момент інерції гіроскопа для кожного значення кутової швидкості обертання ротора і середнє арифметичне значення моменту інерції гіроскопа . Обчисліть абсолютну та відносну похибки.

Література: [11,16,20-38]

Додаток №1

Питання для самоконтролю при підготовці до виконання та захисту експериментальних лабораторних робіт з механіки.