Представление функции Грина в декартовой и цилиндрической системах координат
Часто электродинамические задачи необходимо решать в декартовой или цилиндрической системе координат. При этом используются представления функции Грина в интегральной форме. Последние можно получить с помощью выражения (2.16). 2.4.1. Рассмотрим прежде всего это выражение в декартовой системе координат. Формулу (2.16) можно упростить, выполнив интегрирование, скажем, по
можно дополнить интегралом по полукругу бесконечно большого радиуса Если Таким образом, учитывая значение интеграла по
где знак «плюс» в показателе экспоненты берется при Если Отметим, что в выражение (2.16) можно было выполнить интегрирование по
|
. Подынтегральное выражение (2.16) на плоскости комплексного переменного 
при фиксированных значениях 
и 
имеет две особые точки типа полюса при 
и при 
, где 
. Предположим, что 
, где k – действительная величина. Тогда на плоскости комплексного переменного 
, то
(2.25)
в верхней полуплоскости (рис. 2.4), где при 
подынтегральное выражение стремится к нулю. Тогда последний интеграл равен интегралу по замкнутому контуру 
, охватывающему особую точку. Применяя теорему о вычетах, находим, что интеграл равен произведению 
на вычет в верхней полуплоскости в точке 
.
, то исходный интеграл (2.25) можно дополнить интегралом по полукругу бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости, где при 
подынтегральное выражение стремится к нулю. Тогда интеграл (2.25) равен интегралу по замкнутому контуру. Применяя теорему о вычетах, находим, что интеграл (2.25) равен 
.
в формуле (2.16), получаем
, (2.26)
, а знак «минус» - при 
.
, то, выполним вычисление интеграла (2.25), получим тем же путем из формулы (2.16) выражение (2.26). Формула (2.26) остается верной и для среды с потерями, т.е. когда 
- комплексная величина.
