Возбуждение электромагнитного поля в неограниченном однородном пространстве

2.2.1. Пусть в неограниченном однородном изотропном пространстве с параметрами задано распределение объемной плотности стороннего электрического тока , сторонний магнитный ток отсутствует, т.е. .

Необходимо найти возбуждаемое этим распределением электромагнитное поле в точке пространства.

Запишем соотношения, необходимые для решения поставленной задачи. Искомые составляющие векторов поля и должны удовлетворять уравнениям Максвелла. Решение последних сводится в соответствии с §1.9 к решению в общем случае четырехмерного волнового уравнения (1.93) для электрического векторного потенциала . Поскольку магнитный ток отсутствует, то из уравнения (1.101), применяемого к неограниченному пространству, следует, что . С помощью преобразования Фурье(или применяя метод комплексных амплитуд) для векторного потенциала в волновом уравнении исключается производная по времени и уравнение превращается в трехмерное уравнение Гельмгольца

, (1.105)

решив которое, найдем по уравнениям (1.102) и (1.108) комплексные амплитуды векторов напряженности магнитного и электрического полей. Умножив затем полученные выражения на и взяв действительную часть, найдем мгновенные значения векторов поля.

2.2.2. Теперь рассмотрим решение уравнения Гельмгольца(1.105). Наиболее просто это удается сделать в декартовой системе координат, в которой векторное уравнение(1.105) распадается на три независимых скалярных уравнения относительно составляющих , , :

(2.7)

,

где ; ; . Далее предполагается, что функция распределения стороннего тока является интегрируемой с квадратом, т.е. если -конечная величина, то

. (2.8)

Левая часть (2.8) с точностью до множителя, имеющего размерность Ом, определяет мощность, генерируемую сторонними источниками, и, значит, соотношение (2.8) соответствует физическим условиям рассматриваемой задачи.

При условии (2.8) любую из составляющих вектора стороннего электрического тока , , в неограниченном пространстве можно представить в виде преобразований Фурье. Например, составляющая как функция координаты при фиксированных значениях координат записывается в виде следующей пары преобразования Фурье:

, (2.9)

. (2.10)

Отличие преобразований (2.9), (2.10) от преобразований (1.44), (1.47), приведенных в §1.6, заключается в физическом смысле переменных. В выражении (1.44) переменная имеет смысл частоты, переменная в (2.9) обладает теми же математическими свойствами, но рассматривать ее надо как пространственную частоту; называют так же коэффициентом распространения размерностью . Функцию по аналогии с функцией в выражении (1.47) можно назвать спектральной плотностью (или пространственным спектром) стороннего тока .

Отметим, что если подставить в прямое преобразование Фурье(2.9) спектральную плотность из (2.10) и поменять местами порядок интегрирования, то получим выражение

,

В котором функция в квадратных скобках обладает свойством дельта-функции Дирака ( -функции):

(2.11)

Основным свойством -функции является следующее:

(2.12)

Электромагнитное, определяемое уравнениями (2.7), так же как и ток, является функцией, интегрируемой с квадратом. Поэтому к составляющим векторного потенциала можно
применять в неограниченном пространстве преобразования Фурье. Однако векторный потенциал является функцией трех координат и поэтому преобразование (2.9) нужно применить трижды. Проинтегрируем первое уравнение(2.7) и запишем решение для в виде тройного преобразования Фурье:

,(2.13)

где коэффициенты распространения, соответствующие координатам .

Если найти спектральную плотность , то, подставив ее в выражение (2.13)и проинтегрировав последнее, найдем искомую составляющую векторного потенциала . С этой целью подставим разложение (2.13) в первое из уравнений (2.7). Учтем, что дифференцирование по можно производить под знаком интеграла в(2.13). Объединяя подобные члены и учитывая, что , получаем

(2.14) Таким образом, известная функция распределения стороннего тока представляется в виде тройного преобразования Фурье, причем спектральная плотность этого тока равна спектральной плотности составляющей векторного потенциала , надо к выражению (2.14) применить тройное обратное преобразование Фурье. Умножим левые и правые части выражения (2.14) на множитель

где -фиксированные значения соответственно, и внесем этот множитель под знак интеграла. Если затем полученный результат проинтегрировать по координатам , изменяющимся в неограниченных пределах(взять интеграл по неограниченному пространству), то получим

Здесь надо учесть, что внутренние интегралы в левой части этого равенства представляют собой произведение трех -функций вида (2.11).
Поэтому имеем

Учитывая основное свойство (2.12) -функции в этом равенстве находим

Если перенести штрихи с (пространственных частот) на координаты , то получим

(2.15)

Таким образом, спектральная плотность в разложении (2.13) найдена. Эта спектральная плотность представляется как тройной интеграл по пространству существования стороннего электрического тока . Можно утверждать, что выражение (2.15) определяется интегрированием по физическому пространству , в то время как выражение (2.13) определяется интегрированием по пространству коэффициентов распространения .

Будем полагать, что сторонний электрический ток существует в некотором ограниченном объеме , а в остальной части неограниченного пространства сторонний ток отсутствует (рис. 2.2).

 

рис. 2.2 К задаче возбуждения поля в

неограниченном пространстве

Тогда для краткости выражения(2.15) можно записать так:

(2.15а)

где Подставляя выражение (2.15а) в соотношение (2.13) и меняя местами порядок интегрирования, получаем

Выражение в квадратных скобках представляет собой функцию координат точки наблюдения и функцию координат по которым производится интегрирование,- координат точки истоков

Обозначим эту функцию через

(2.16)

Тогда для составляющей векторного потенциала имеем

(2.17)

Выражение (2.17) представляет собой решение первого из уравнений (2.7). Решение остальных двух получается аналогично

(2.18)

(2.19)

Заметим, что , где -орты декартовой системы координат.

Учитывая это и выражение , получаем из формул

(2.17)-(2.19) решение векторного уравнения Гельмгольца (1.105):

(2.20)

Точка в подынтегральном выражении (2.20) принадлежит объему ,

в котором задан сторонний ток,- это точка источников поля. Функция называют функцией Грина (функцией наведения) неограниченного однородного изотропного пространства.

2.2.3. Рассмотрим решение поставленной в §2.1 задачи, при условии, что в ограниченном однородном и изотропном пространстве электрический сторонний то отсутствует (),

а в объеме задана объемная плотность стороннего магнитного тока . Так как , то из уравнения (1.105) для неограниченного пространства получаем , а комплексная амплитуда магнитного векторного потенциала определяется уравнением Гельмгольца(1.112) Каждую из составляющих , , с помощью метода, использованного в этом параграфе, можно выразить в виде соотношений, аналогичных (2.17-2.19). Тогда решение уравнения (1.112) представляется выражением

. (2.21)

Комплексные амплитуды векторов напряженности электрического и магнитного полей определяются подстановкой (2.20) и (2.21) в выражения (1.115) и (1.116).