Обобщенный метод узловых потенциалов

Линейные активные схемы содержат двухполюсные и многополюсные активные и пассивные компоненты (элементы). Полюсами называют вы­вода компонент, с помощью которых они могут соединяться с другими компонентами. Простейшие пассивные двухполюсные элементы: резисто­ры, конденсаторы, катушки индуктивности. Активные двухполюсники – источники напряжения и тока. Трехполюсные элементы: биполярный и полевой транзистор, лампа. Четырехполюсный элемент – ОУ (рис.3.1).

Каждый полюс характеризуется напряжением на нем и током, протекающим через полюс. Положительное направление тока указывается стрелкой. Ток считается положительным, если он втекает в полюс, и отрицательным в противном случае. Напряжение полюсов отсчитывается относительно полюса, принимаемого за опорный, называемого также нулевым или базовым. В качестве опорного может быть принят как лю­бой полюс элемента (полюс 0 на рис.3.1.а), так и посторонний по­люс,непосредственно не связанный с элементом (рис.3.1, б). Положи­тельное относительно опорного полюса напряжение отмечается знаком "плюс". Кроме внешних полюсов элемент схемы может иметь и внутрен­ние полюса, которые отличаются от внешних тем. что к ним нельзя присоединить внешние по отношению к данной схеме компоненты (ис­точники возбуждения, нагрузку, измерительные приборы).

В любойлинейной цепи напряжения и токи внешних полюсов связа­ны системой линейных уравнений. Количество уравнении зависит от числа полюсов схемы. Если элемент имеет полюсов и опорный полюс является внешним (посторонним) по отношению к атому элементу, то количество уравнения равно n. Например, для схемы рис.3.1,б систе­ма имеет вид.

Или в матричной форме.

Левая матрица называется матрицей – столбцом токов внешних полю­сов, средняя – полной матрицей проводимостей (ПМП), правая – матрицей – столбцом напряжений внешних полюсов. Из (3.1) следует, что

 

 

где

Таким образом, проводимость y_sk равна отношению тока i_s внеш­него полюса s к вызвавшему этот ток напряжению полюса k при нуле­вых напряжениях на всех остальных полюсах. Проводимость y_ss назы­вается собственной проводимостью полюса s, а проводимость у_sk (s ≠ k) – взаимной проводимостью полюсов s и k. В общем случае y_sk ≠ y_ks.

Если в качестве опорного полюса принять один из полюсов эле­мента (например, полюс 4 на рис.3.1,6), то из системы (3.1) нужно вычеркнуть четвертое уравнение и все члены в других уравнениях, содержащие напряжение u₄. Получаемая при этом матрица проводимоcтей называется укороченной (УНП). Для приведенного примера УНП имеет вид.

Основные свойства матриц проводимостей следующие:

1. Порядок ПМП равен числу ее внешних полюсов, включая собст­венный опорный полюс.

2. Сумма проводимости всех элементов каждой строки и каждого столбца ПМП равна нулю.

3. Если s-й внешний полюс соединить с опорным полюсом, то в матрице проводимостей [y] вычеркиваются s-й столбец и s-я строка.

4. Если внешние полюсы s-й и k-й соединить в один, то в матри­це [у] s-ю и k-ю строки следует заменить одной строкой, a s-й и k-й столбцы - одним столбцом, элементы которых равны сумме соот­ветствующих элементов s-й и k-й строк и s-го и k-го столбцов. Но­вым строке и столбцу присваивается номер объединенного полюса.

Разработан алгоритм определения элементов УМП для пассивной и активной схем.

Пассивная схема

1. Один полюс схемы принимается за опорный и не нумеруется.

2. Порядок матрицы на единицу меньше общего числа полюсов, вклю­чая и опорный.

3. Заполняется главная диагональ матрицы собственными проводимостями полюсов. Собственная проводимость полюса равна сумме про­водимостей ветвей, сходящихся к данному полюсу.

4. Заполняется верхняя (от главной диагонали) часть матрицы элементами, равными взаимным проводимостям соответствующих полю­сов. Взаимная проводимость между полюсами равна суше проводимостей ветвей между этими полюсами, взятыми с отрицательными знаками.

5. Заполняется нижняя часть матрицу симметрично относительно главной диагонали.

Активная схема

1. Активная схема отличается от пассивной наличием зависимых управляемых напряжениями генераторов тока. Коэффициенты, стоящие перед напряжениями, называются управляющими параметрами (УП).

2. Составляется матрица соответствующей пассивной схемы (без зависимых генераторов тока).

3. На пересечении некоторых строк и столбцов вписывается УП. Номера строк соответствуют номерам полюсов, с которым связан зави­симый источник, а номера столбцов - номерам полюсов, к которым приложено напряжение.

4. УП записывается со знаком плюс, если ток вытекает из узла, и со знаком минус - в противном случае.

При анализе сложных схем часто возникает задача превращения k-ro внешнего полюса, ток которого равен нулю, во внутренний, то есть задача снижений порядка матрицы. В этом случае в матрице проводимостей вычеркиваются k-я строка и k-й столбец, а остальные элемен­ты пересчитываются по формуле:

где индекс "*" означает принадлежность данного элемента новой мат­рице.

Метод узловых потенциалов позволяет определить потенциалы и токи всех внешних полюсов и функции данной схемы.

Под функцией схемы понимают отношение двух параметров, каждый из которых может быть напряжением или током любого внешнего полюса цепи. Один из этих параметров рассматривается как реакция цепи, а второй - как причина, вызывающая эту реакцию.

По теореме Крамера напряжение внешнего полюса:

Здесь n, Δ – порядок и определитель УМП;

где A_Si - алгебраическое дополнение; D_si - минор элемента - опре­делитель матрицы, получающейся из укороченной матрицы путем вычер­кивания s-й строки и k-го столбца.

Если источник сигнала подключен к полюсу s, а нагрузка к полю­су i и токи всех остальных полюсов равны нулю (проводимости нагру­зок этих полюсов или отнесены к схеме, или равны нулю), то из (3.5) получим:

Из (3.7) следует, что

где K, K_j - коэффициенты передачи по напряжению и току; Y_ВХ,Y_ВЫХ -входная и выходная проводимости; Y_пер - коэффициент преобразования напряжения в ток (крутизна преобразования, проводимость передачи); Z_пер - коэффициент преобразования тока в напряжение (сопротивление передачи).