Математическая постановка решений контактных (смешанных) задач. Задача о вдавливании жесткого штампа. Определение давлений. Основные зависимости

Возьмем, например, абсолютно жесткий штамп в виде круглого цилиндра, вдавливаемого в плоскую грань упругого полупространства. В этом случае перемещение w для всех точек будет по­стоянным по круглой подошве штампа; распределение дав­лений не будет постоянным и должно определяться в ре­зультате решения интегрального уравнения

Решение такого уравнения приводит к результату: ,

где Р - полная нагрузка на штамп, а - радиус штампа и r - радиус круга, на который действует давление q. Это рас­пределение неравномерно и наименьшее его значение в центре (r = 0), где , т. е. наименьшее давление равно половине среднего давле­ния по круговой площади подошвы штампа. На контуре этой площади (r = a) давление становится бесконечно большим.

Перемещение штампа выразится формулой .

Если предположить, что края штам­па имеют некоторое закругление, как это показано на рис.26, то распределение напряжений у краев штампов может существенно измениться. Такая сложная контактная задача была поставлена И. Я. Штаерманом и при­вела к ответу, представленному графиком на рис. 26.

Рис. 26

В частности, это решение свободно от бесконечно больших напряжений, не имеющих реального значения. На указанном графике .

Аналитическое решение контактной задачи Герца и численная реализация.