Пусть функция f (x) интегрируема на любом конечном интервале и удовлетворяет и соотношениям 
, 
.(4.11). Рассмотрим преобразование Фурье функции f (x): 
, f (x)= 
. (4.12) Трансформанта F (α) ввиду оценок (4.11) является аналитической функцией в полосе 
.Сделав замену переменной 
в (4.12), получим 
, 
.(4.13) Теперь 
будет аналитической функцией в полосе 
. Поэтому контур интегрирования в плоскости р можно произвольно деформировать. Например, его можно выбрать в виде произвольной вертикальной прямой 
, расположенной внутри полосы 
. Тогда формулы (4.13) примут вид 
, 
(4.14) Эти формулы представляют собой двустороннее преобразование Лапласа (и обратное ему). В случае, если функция 
при 
, имеем обычное (одностороннее) преобразование Лапласа
, 
.
В этом случае областью аналитичности трансформанты будет полуплоскость 
.
