Фазовая и групповая скорости волн

Уточним введенное ранее понятие скорости волны.

Допустим, в пространстве распространяется монохроматичная волна (волна одной частоты). Уравнение плоской волны имеет . Аргумент косинуса - это фаза. Зафиксируем значение фазы – тем самым мы зафиксируем определенное смещение точки от положения равновесия, допустим «горб» волны. С течением времени слагаемое изменяется, значит, слагаемое тоже должно изменяться, чтобы разность оставалась неизменной. Это означает, что зафиксированный нами «горб» волны перемещается в пространстве. Скорость перемещения этого «горба» (фазы) называется фазовой скоростью волны. Для нахождения фазовой скорости продифференцируем выражение по времени:

Производная от расстояния по времени - это не что иное, как скорость перемещения фазы в пространстве, т.е. фазовая скорость . С учетом того, что , получаем

Таким образом, скорость, входящая в уравнение бегущей волны, – это фазовая скорость.

В общем случае фазовая скорость зависит от частоты волны, т.е. волны разных частот в одной и той же среде распространяются с разной скоростью. Это явление называется дисперсией.

Допустим, в пространстве распространяется группа волн – «волновой пакет». Мы наблюдаем результат наложения этих волн. Например, волновой пакет состоит всего из двух волн близких частот ω₁ и ω₂. На рисунке показаны распределение смещений частиц среды ξ₁ и ξ₂ вдоль оси ОХ в какой-то момент времени. Ниже показана картина наложения смещений частиц. Видно, что будут области, где смещение частиц от положения равновесия максимально. Эти области называют «горбами» волны.

Если волны, образующие волновой пакет, не обладают дисперсией, то картинка наложения волн, перемещаясь в пространстве, не изменяет своей формы.

 

Если составляющие волнового пакета перемещаются с разными скоростями, то картинка наложения волн с течением времени видоизменяется. «Горб» картины наложения будет перемещаться в пространстве, но его скорость будет отличиться от скорости распространения отдельных составляющих волнового пакета. Скорость перемещения максимума волнового пакета называют групповой скоростью. Найдем связь групповой скорости с фазовой.

Пусть первая волна длиной λ распространяется со скоростью . Вторая волна длиной (λ+dλ) распространяется со скоростью . В какой-то момент времени «горб» волнового пакета совпадает с точкой А.

Вторая волна догоняет первую со скоростью , и в системе отсчета, связанной с первой волной, через время «горб» волнового пакета совпадет с точкой В. Очевидно, что в лабораторной системе отсчета скорость перемещения «горба» будет меньше скорости первой волны

В рассмотренном примере вторая, более длинная волна, распространялась быстрее первой, более короткой волны (). Этот случай называют нормальной дисперсией. Групповая скорость в этом случае оказывается меньше фазовой.

Если более короткие волны в пакете будут бежать быстрее длинных (), то групповая скорость окажется больше фазовой. Это так называемая аномальная дисперсия.

В жизни практически всегда приходится сталкиваться не с бесконечной монохроматичной волной, а с волновым пакетом. Поэтому скорость волны, измеряемая на практике, это чаще всего групповая скорость.

В дальнейшем мы будем рассматривать в основном идеальный случай – бесконечную синусоидальную волну. Поэтому всюду, если это не оговорено особо, под скоростью волны будем понимать фазовую скорость.