Примеры основных функций полезности

 

1) u(x) = a+bx (b>0) - нейтральность к риску.

2) u(x) ~ loga(x+b) (х > - b, a >1) - убывающая несклонность к риску.

3) и(х)—е~сх(с>0)- постоянная несклонность к риску.

4) u(x) ~ есх(с>0) - постоянная склонность к риску.

5) u(x) ~ a+bx-cx (с>0, х<—) - возрастающая несклонность к риску.

2с Эта функция плохо описывает поведение людей, но ее используют, так как

Mu(x) = uM(x)-co2.

 

В этом случае ожидаемая полезность выражается в реально ощутимых величинах.

5.1) и(х) —х (х<0) - возрастающая несклонность к риску.

6) u(x) ~ a+bx+cx (с>0, х>-----)- убывающая склонность к риску.

7) Функция с интервальной нейтральностью к риску.

 

С помощью функции полезности с интервальной нейтральностью к риску можно с любой степенью точности аппроксимировать любую функцию полезности. Ее удобно задавать графически (рис.2):

 

 

Рис.2

 

При х g (0,Х1),(хьх2),(х2,хз),(хз5х4) ~ нейтральное отношение к риску. При х <= (0,х2) имеет место склонность к риску. При х <= (xi,X4) имеет место несклонность к риску.

8) и(х) = х<а F(x)-F(a ~а<х <Ь,F(b) - Fa x > b

9) u(x)=x-x.,a>0.x _x*

10) u(x) = F(x) = P(X < x), (u(x) = F(x) = P(X<xkp).

11) u(C)

 

функция с постоянной эластичностью.

 

12) V(R)= I, еслиЯ + W >0; [0, если R + W°<0.

 

Функция V(R) определяет вероятность неразорения при начальном капитале

 

Одной из основных функций полезности, характеризующих финансовое поведение людей, является функция ll(x) ~ In x. Это следует со следующих рассуждений.

 

Полезность бесконечно малого выигрыша dx пропорциональна этому выигрышу и обратно пропорциональна денежной сумме, которой игрок обладает:

du = u(x + dx) - u(x) =

 

Следовательно

u(x) ~ In x.

 

Отсюда следует, что потери более ощутимы, чем такие же выигрыши так как

 

xthdx xr dx, x + h, х

 

Следовательно, полезность выигрыша h меньше полезности проигрыша h. Отсюда следует, что внутреннее желание экономить средства, улучшить свое положение превалирует над желанием к наслаждениям.