Способ 2

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, которое называется волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, определим вторые частные производные по координате х и времени t от функции , описывающей плоскую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси 0х (плоская прогрессивная волна).

Первая производная функции u по времени t будет выглядеть следующим образом:

,

а вторая производная

.

Первая производная функции u по координате x будет выглядеть следующим образом:

,

а вторая производная

.

Теперь в выражениях для вторых производных перенесем ω;² и k ² в левые части (разделив обе части на ω;² и k ² соответственно). Получим:

и .

Следовательно,

или

 

Поскольку k = 2π/ λ;, ω; = 2π ν; = 2π с / λ;,то

 

Получаем:

или

(3.15)

Это так же, как и (3.14), есть дифференциальное уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси 0 х. Оно получено нами из уравнения плоской волны (2.9) (см. лекцию 1). С помощью аналогичных рассуждений его можно получить и для плоской волны, бегущей в отрицательном направлении оси 0 х. Однако можно сделать и обратное заключение: если какая-нибудь физическая величина (не обязательно смещение u) зависит от времени t и координаты x так, что ее частные производные удовлетворяют уравнению (3.15), то эта величина распространяется в среде в виде плоской волны со скоростью с.