Теорема умножения вероятностей

 

Найдем вероятность, что при двух бросаниях кубика выпадет последовательно i и k. Рассмотрим N двойных бросаний. Пусть первый из каждой пары бросков дал i в N_i случаях (так что Р_i» N_i / N). Теперь выделим из этих N_i случаев те N_k событий, когда второй бросок кубика давал k (так что Р_k» N_k / N_i). Тогда искомая вероятность

Р (i, затем k) =

Значит, вероятность того, что при бросаниях кубика выпадут, допустим, сначала 2, а затем 5, равна 1/6 × 1/6 = 1/36

В общем случае теорема умножения вероятностей утверждает:

вероятность совмещения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них в отдельности.

 

Средние значения случайных величин

 

Случайная величина, которая может принимать ряд дискретных значений, для каждого из которых имеется своя вероятность, называется дискретной случайной величиной. Например, число молекул газа, залетевших в некоторый объем в данный момент времени – дискретная случайная величина. Она может принимать значения в виде последовательности целых чисел. Зная вероятности появления различных результатов измерений дискретной случайной величины х, можно найти их среднее значение á х ñ. По определению среднего

á х ñ=

 

Функция распределения

 

Рассмотрим случай, когда случайная величина х имеет непрерывный характер (например, скорости молекул). Для этого разобьем всю область изменения х на отдельные интервалы и будем считать число попаданий случайной величины в тот или иной интервал. Интервалы должны быть во избежание заметных флуктуаций достаточно большими, чтобы в каждом интервале число попаданий было N_i >> 1 и можно было бы по частоте попадания достаточно точно определить вероятность попадания случайной величины в данный интервал. Вместе с тем, интервалы должны быть достаточно небольшими, чтобы более детально характеризовать распределение величины х.

Итак, мы имеем достаточно большое число достаточно небольших интервалов и, допустим, нам известна вероятность Р_х попадания в тот или иной интервал D х. Сама величина DР_х весьма мала. Поэтому в качестве характеристики случайной величины берут отношение D Р_х / D х, которое для достаточно малых D х не зависит от величины самого интервала D х.

Это отношение при D х ® 0 называют функцией распределения f (x). Этой функции можно приписать смысл плотности вероятности, т.е. вероятности интересующей нас величины оказаться в единичном интервале вблизи значения х.

В разных случаях функция распределения имеет совершенно различный вид, один из которых в качестве примера приведен на рисунке.

Площадь полоски шириной dx на этом рисунке равна вероятности того, что случайная величина х окажется в пределах интервала (х, х + dx):

dP_x = f (x) dx

Вероятность того, что величина х попадает в интервал (а, b) (согласно теореме о сложении вероятностей):

Вероятность того, что величина х может принять какое-либо значение (достоверное событие), равна единице. Это называют условием нормировки:

,

где интегрирование производится по всему интервалу возможных значений величины х. Из этого условия следует, что вся площадь под кривой f (x) равна единице.

 

Средние значения

 

Среднее значение величины х можно найти, зная ее нормированную на единицу функцию распределения f (x). Обратимся к формуле для среднего значения дискретной величины:

á х ñ =

Формула справедлива и для случая, когда интервал изменения величины х будет разбит на небольшие участки. Уменьшая участки, мы должны в конце концов заменить Р_i на dP и сумму на интеграл:

á х ñ = ,

где интегрирование проводится по интересующему нас интервалу значений х. Аналогичные формулы справедливы для любой функции j (х), например

á х ²ñ = .

 

Флуктуации

 

Вероятность случайного события и экспериментально наблюдаемая доля результатов, когда событие осуществляется, - это не одно и то же. Последняя (доля результатов) испытывает случайные отклонения от предсказываемой вероятности. Именно такого рода отклонения происходят в любых макросистемах. Эти отклонения и обуславливают флуктуации.

Согласно теории вероятности, с увеличением числа N испытаний относительная флуктуация любой величины уменьшается по закону . Именно грандиозность числа N молекул и объясняет, почему макроскопические законы, получаемые на основе статистических представлений о движении частиц макросистемы, оказываются точными.

В дальнейшем будет использовано понятие бесконечно малого объема dV макросистемы. Под этим будет пониматься такой объем, размеры которого ничтожны по сравнению с размерами самой макросистемы, но все же намного превосходящие характерный размер ее микростроения. Каждая бесконечно малая область, предполагается, содержит число частиц dN настолько большое, что относительной флуктуацией их можно пренебречь.