Задание И5. Уравнений Лагранжа. Теорема об изменении кинетической энергии в переносном движении1. Дифференциальные уравнения движения системы найдем из уравнений Лагранжа. За обобщенные координаты выберем x и φ. Запишем соответствующие уравнения Лагранжа: Выражение кинетической энергии системы (4.2) позаимствуем из задания И4 Производные по : Обобщенная сила равна нулю, поскольку нет сил, имеющих составляющие вдоль Подставив (5.3) и (5.4) в (5.1) получаем дифференциальное уравнение по : Поскольку. то является циклической координатой, и ей соответствует циклический интеграл дифференциального уравнения по Покажем, что циклический интеграл выражает факт сохранение кинетического момента системы относительно оси z. Согласно формуле (2.1) задания И2 Подстановка данных задачи дает что в точности совпадает с выражением (5.7). Значит (5.7) действительно выражает факт сохранение кинетического момента системы относительно оси z. Ввиду начального покоя системы Производная от (5.7) приводит к дифференциальному уравнению по 2. Проверим уравнение относительного движения точки (1.2) в условиях задачи А. При подстановке условий задачи А: в (5.5) получаем точно такое же уравнение, как в задаче А 3. Проверим закон угловой скорости тела, найденный в условиях задачи Б При подстановке условий задачи Б при отсутствии момента : в (5.7) получаем тот же закон угловой скорости что и в задании И2 при отсутствии момента. 4. Общее выражение зависимости реакции тела на точку найдем из теоремы об изменении кинетической энергии точки в переносном движении Здесь использовано разложение выражения кинетической энергии точки Т на слагаемые по степеням относительной скорости. Справа стоит мощность внешних сил (они здесь состоят из одной реакции на переносном движении точки. Кинетическая энергия Т не содержит времени t, поэтому Энергия , содержащая в первой степени и ее производная Энергия содержащая в нулевой степени и ее производная Мощность реакции в переносном движении точки После подстановки в теорему (5.13) получаем
Проверим выражение (для реакции в условиях задачи А, где: Подставив эти условия в (5.19), получаем В силу дифференциального уравнения движения точки получаем то же выражение (1.8) что и в задании И1.
|