Задание И2. Теорема об изменении кинетического момента. Дифференциальное уравнение вращения тела. Условие равномерного вращения.

1. Найдем закон изменения угловой скорости тела из теоремы об изменении кинетического момента относительно оси вращения тела.

Кинетический момент системы складывается из кинетического момента стержней АОВ с зафиксированной на них в текущий момент точкой М и кинетического момента точки М в относительном движении (плечо .

Последнее слагаемое отрицательно, поскольку при момент относительной скорости направлен против стрелки

Моменты инерции двух стержней складываются, при этом вычисляется по формуле Штейнера

C- центр стержня ОВ.

Момент инерции точки в текущем положении

Итак

Кинетический момент системы равен:

Интегрируем теорему об изменении кинетического момента

Получаем

Иначе

Отсюда находим закон угловой скорости тела

В момент, когда точка покидает тело.

 

2. Найдем закон изменения движущей силы сцепления , которая создается мотором экипажа и обеспечивает заданное движение точки по телу. С учетом силы и вращательной переносной силы инерции ( уравнение динамики относительного движения точки примет вид

P

Рис.5

ω

𝛽𝛽

y

x

О

ω

m

α

L

Фс

h

Ne

Проекция центробежной силы инерции на ось у была найдена раньше

направляем против стрелки Ее проекция на ось х равна

Дифференциальное уравнение относительного движения точки (1.2)

Внимание: Перед проекцией ВСЕГДА знак плюс (.

 

Отсюда находим закон изменения силы

Все функции времени в правой части определяются из данных задачи и дифференцированием (2.6)

 

3. Реакция точки на тело Реакцию найдем из дифференциального уравнения вращения тела.

Здесь + поскольку по 3му закону Ньютона сила, действующая на тело противоположна силе (2.9), действующей на точку. Момент такой силы при , направлен по .

Отсюда

Здесь сила определена выражением (2.9)

 

4. В задаче А точка движется по телу свободно (, оказывая на тело нормальную реакцию (1.8) с обратным знаком (3й закон Ньютона):

(2.12)

Найдем момент , который вынуждает тело вращаться равномерно (

Сумма моментов всех сил, действующих на тело, равна нулю. Кроме момент создает сила давления (2.12),

Приравнивая сумму моментов нулю, либо подставив условия движения в (2.11), получим:

Отсюда находим закон изменения вращательного момента, поддерживающего постоянную угловую скорость тела

𝛽

x

x

О

φ

M

α

a

h

y

Рис.7

где , а закон и скорость являются известными функциями времени (1.5). Такой же результат получим и из (2.11).