Разностные методы решения уравнений

Основные понятия теории разностных схем

Одним из методов изучения физических задач является их численное моделирование. Ниже рассмотрены конечно-разностные методы решения задач гидроаэродинамики исследованных ранее моделей. Определим основные понятия теории разностных схем.

Для аппроксимации первых производных введем следующие разностные операторы: оператор правой разности , оператор левой разности и оператор центральной разности , действующие на сеточную функцию , которая определенна на регулярной сетке. Первые два оператора имеют первый, а последний второй порядки точности и аппроксимируют пространственные производные.

Для аппроксимации пространственной производной второго порядка используем разностный оператор , а временная производная . Если индекс «» заменяется на номер «n», то схема является явной, а если на номер «n+1» то неявной.

Замечание. Разностные операторы введены для одномерной задачи. Для общего случая они строятся аналогично.

Аппроксимацию исходного уравнения и краевых условий назовем разностной схемой.

Для анализа устойчивости разностных схем будем пользоваться спектральным методом. При анализе нелинейных уравнений устойчивость схемы будем проверять для линеаризованных уравнений или уравнений с замороженными коэффициентами.

Построение разностных схем начнем со следующих часто встречающихся модельных дифференциальных уравнений (см.[7]):

, (19)

, (20)

, (21)

. (22)

Здесь .

Заметим, что два последних уравнения нелинейные.