Исследование линейной импульсной системы автоматического управления
Исходные данные Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, состоящая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью , где T – период дискретизации, . Исходные данные для расчетов приведены в таблице 4. Для всех вариантов заданий передаточная функция непрерывной части имеет вид
.
Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией
.
Структурная схема системы представлена на рисунке 3. В таблице 4
Рисунок 3
Таблица 4
Задание 1. Найти передаточные функции импульсной САУ: – разомкнутой системы, – замкнутой системы, – системы по ошибке. Параметры T, T 1, , K 0, входят в выражения передаточных функций в общем виде, т.е. в буквенном виде. Далее в пункте 3.2 знак * будет относиться к передаточным функциям импульсной системы. 2. Найти интервал изменения коэффициента передачи K 0, при котором система будет устойчива . Для дальнейших исследований выбрать значение 3. Построить графики логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной системы и при заданных значениях T, T 1, , и выбранном . По графикам определить запасы устойчивости системы по модулю и фазе . 4. Определить ошибку системы по скорости при входном воздействии (скачок по скорости), а также первые два коэффициента ошибок . 5. Вычислить переходной процесс в системе при воздействии (скачок по положению).
Краткие методические указания 1. Основное для дальнейшего правильно определить передаточную функцию разомкнутой системы. Приведем краткую методику, следуя Таким образом, имеем , где в коэффициенты A, B входит коэффициент передачи K 0. Полученную .
Передаточные функции замкнутой системы легко находятся по , .
2. Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы , которое для нашего случая будет иметь вид . В соответствии с алгебраическим критерием [6, c. 432] замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств
, , .
В неравенстве при известных значениях , , , входит величина K 0. Таким образом, можно выделить отрезок значений , при которых система будет устойчива и далее принять . 3. Для построения логарифмических характеристик разомкнутой системы в передаточной функции делаем замену переменной [5, с. 40], , , где - обычная частота, - псевдочастота, мнимая единица. При изменении частоты в диапазоне псевдочастота изменяется от до , при псевдочастота . В результате замены передаточная функция преобразуется в частотную характеристику относительно псевдочатоты следующего вида
,
где - некоторые числа при заданных K 0, , , , . Величины можно интерпретировать как постоянные времени, причем некоторые из них могут быть отрицательными. Далее находится , - амплитудная и фазовая частотные логарифмические характеристики системы. Построение их производится как и для непрерывного случая (смотри примеры [5, c. 41-43, 6, c. 434]). По построенным характеристикам и определяем частоту среза там, где пересекает ось абсцисс , а также точку, где . В этих точках находим запасы устойчивости системы по модулю и фазе . Следует помнить, что исходя из пункта 2 при заданных параметрах, система всегда будет устойчива. 4. Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию
где . В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная вычисляется по формуле . Величина , а коэффициент ошибки находится по следующей , где - передаточная функция системы по ошибке. Более подробно смотри [11, c. 115]. 5. В случае низкого порядка системы переходной процесс на выходе в дискретные моменты времени нетрудно вычислить аналитически, либо путем моделирования в среде Matlab (в последнем случае ограничения на порядок системы не имеет значения). Рассмотрим два способа аналитического вычисления процесса . Первый способ базируется на дискретном преобразовании Лапласа
, где два различных корня характеристического уравнения замкнутой системы , - передаточная функция замкнутой системы, а вычисляются из выражения
, .
Задавая , получим значения и построим точечный график переходного процесса. Если корни уравнения одинаковые (кратный корень), то существует аналогичная формула [11] вычисления . Второй вариант [6, c. 411] вычисления переходного процесса базируется на рекуррентных свойствах разностных уравнений. Если известна передаточная функция замкнутой системы ,
то несложно найти разностное уравнение, связывающее выход и вход в дискретные моменты времени k
,
которые можно представить в виде
.
Зададим начальные значения переменных , , , тогда с учетом получаем рекуррентное соотношение для вычисления . Задавая последовательно , , и т. д. находим , и т.д. Зная , можно построить точечный график переходного процесса.
|