Задача 1 ( решение игры 2 x n)

Рассмотрим матричную игру, заданную платёжной матрицей первого игрока.

 

	B1	B2	B3
A1
A2

 

1. Проверим, есть ли у данной игры решение в области смешанных стратегий, т.е. есть ли у заданной матрицы седловая точка.

a. Найдем нижнюю цену игры :

 

b. Найдем верхнюю цену игры :

c. Нижняя цена игры не равна верхнее цены игры, следовательно, седловой точки у заданной матрицы выигрышей нет и решения в чистых стратегиях отсутствует. Поэтому решение необходимо искать в области смешанных стратегий.

 

2. Данная игра 2 x 3 (или в общем случае 2 x n), следовательно необходимо строить прямые, соответствующие стратегиям второго игрока. Рассмотрим подробно алгоритм решения матричных игр графоаналитическим методом.

 

3. На плоскости хОy введём систему координат и на оси Ох отложим отрезок единичной длины А₁, А₂, каждой точке которого поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию игрока 1 (х, 1 - х). В частности, точке А₁ (0; 0) отвечает стратегия А₁, точке А₂ (1; 0) – стратегия А₂ и т.д.

 

4. В точках А₁ и А₂ восстановим перпендикуляр и на полученных прямых будем откладывать выигрыш игроков. На первом перпендикуляре (в данном случае он совпадает с осью 0y) отложим выигрыш игрока 1 при стратегии А₁, а на втором – при стратегии А₂. Если игрок 1 применит стратегию А₁, то выиграет при стратегии В₁ игрока 2 – 2 (элемент a₁₁ матрицы А), при стратегии В₂– 3 (элемент a₁₂ матрицы А), а при стратегии В₃– 11 (элемент a₁₃ матрицы А).

Если же игрок 1 применит стратегию А₂, то его выигрыш при стратегии В₁ равен 7 (элемент a₂₁ матрицы А), при В₂– 5 (элемент a₂₂ матрицы А), а при В₃– 2 (элемент a₂₃ матрицы А). Эти числа определены на перпендикуляре, восстановленном в точке А₂. Соединив между собой точки соответствующие a₁₁ и а₂₁, а₁₂ и а₂₂, а₁₃ и а₂₃, получим три прямые, расстояние до которых от оси 0х определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий. Например, расстояние от любой точки отрезка a₁₁a₂₁ до оси 0х определяет средний выигрыш u₁ при любом сочетании стратегий А₁ А₂ (с частотами х и 1– х) и стратегией В₁ игрока 2. Это расстояние равно

2 х₁ + 6(1 - х₂) = u₁

5. Рассмотрим ломанную a₁₁MNa₂₃.

Таким образом, координаты точек, принадлежащих ломанной a₁₁MNa₂₃ определяют минимальный выигрыш игрока 1 при применении им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является максимальной в точке N; следовательно этой точке соответствует оптимальная стратегия Х* =(p, 1- p), а её координата равна цене игры u. Координаты точки N находим как точку пересечения прямых а₁₂а₂₂ и а₁₃а₂₃.

Соответствующие два уравнения имеют вид:

Проверка: цена игры должна удовлетворять следующему неравенству:

Это неравенство выполнено:

Следовательно, Х = , при цене игры u = . Таким образом, мы можем найти оптимальную стратегию при помощи матрицы A*:

 

	B2	B3
A1
A2

 

Оптимальные стратегии для игрока 2 можно найти, решив систему:

и, следовательно, Y = . (Из рисунка видно, что стратегия B₁ не войдёт в оптимальную стратегию.

Значения p, q и u можно также вычислив, используя формулы (6), (7) и (9) для матрицы А*.

 

Ответ: Оптимальное решение находится в области смешанных стратегий. Оптимальная стратегия первого игрока X= Х = , оптимальная стратегия второго игрока Y = , цена игры .