Проверка незначимости качественного признака по критерию Г. Чоу

Критерий Г. Чоу основывается на сравнении по критерию Фишера остаточных сумм моделей, одна из которых учитывает качественный признак, а другая не учитывает.

Пусть n – число наблюдений, Z – двоичная фиктивная переменная, р – число факторов (без фиктивной переменной Z), n ₀ – число наблюдений, для которых Z =0, n ₁ – число наблюдений, для которых Z =1. Очевидно, что n ₀+ n ₁= n.

Далее, пусть Н ₀ – гипотеза о незначимости фиктивной переменной Z, Q ₀ – остаточная сумма при условии, что гипотеза Н ₀ верна, Q ₁ – остаточная сумма при условии, что гипотеза Н ₀ неверна.

Сумма Q ₀ – это остаточная сумма p -факторной линейной регрессии по n наблюдениям, поэтому статистика (см. §1.4 практической работы №3) имеет распределение хи-квадрат с числом степеней свободы:

k ₀= n -(p +1).

Сумма Q ₁ складывается из двух остаточных сумм:

Q ₁= Q ₁(Z =0)+ Q ₁(Z =1),

где Q ₁(Z =0) – остаточная сумма линейной регрессионной модели с p факторами, рассчитанной по n ₀ наблюдениям (для которых Z =0); Q ₁(Z =1) – остаточная сумма линейной регрессионной модели с p факторами, рассчитанной по n ₁ наблюдениям (для которых Z =1). Статистика имеет распределение хи-квадрат с числом степеней свободы:

k ₁(Z =0)= n ₀-(p +1).

Аналогично число степеней свободы для Q ₁(Z =1) равно

k ₁(Z =1)= n ₁-(p +1).

Число степеней свободы остаточной суммы Q ₁ равно

k ₁= k ₁(Z =0)+ k ₁(Z =1)= n ₀-(p +1)+ n ₁-(p +1)= n -2(p +1).

Рассмотрим разность:

D Q = Q ₀- Q ₁. (46)

Можно доказать, что

,

где

k _∆ = k ₀- k ₁= p +1. (47)

В соответствии с критерием Г. Чоу вычисляется статистика:

, (48)

которая распределена по Фишеру со степенями свободы k _∆ и k ₁.

Если гипотеза Н ₀ верна, то D Q< < Q ₁, ибольшие значения статистики (48) маловероятны. Поэтому гипотезу о незначимости фиктивной переменной Z следует отклонять, если

F_Чоу> f (a; k _∆ ; k ₁), (49)

где f (a; k _∆ ; k ₁) – квантиль F -распределения уровня 1-a.

Вероятность ошибки первого рода (отклонить гипотезу Н ₀ при условии, что она верна) для правила (49) равна a.

Заметим, что при p =1 сумму Q ₁ можно вычислить и как остаточную сумму модели (45) с фиктивными переменными.