Приложение 16

Использование критерия χ ²

 

Таблица П.16.1 – Значение критерия χ ²для трех значений доверительной вероятности

 

Число	Доверительные вероятности	Число	Доверительные вероятности
степеней				степеней
свободы*	Р1 = 0, 95	Р2 = 0, 99	Р3 = 0, 999	свободы*	Р 1 = 0, 95	Р2 = 0, 99	Р3 = 0, 999
df			df
	3, 8	6, 6	10, 8		27, 6	33, 4	40, 8
	6, 0	9, 2	13, 8		28, 9	34, 8	42, 3
	7, 8	11, 3	16, 3		30, 1	36, 2	43, 8
	9, 5	13, 3	18, 5		31, 4	37, 6	45, 3
	11, 1	15, 1	20, 5		32, 7	38, 9	46, 8
	12, 6	16, 8	22, 5		33, 9	40, 3	48, 37
	14, 1	18, 5	24, 3		35, 2	41, 6	49, 7
	15, 5	20, 1	26, 1		36, 4	43, 0	51, 2
	16, 9	21, 7	27, 9		37, 7	44, 3	52, 6
	18, 3	23, 2	29, 6		38, 9	45, 6	54, 1
	19, 7	24, 7	31, 3		40, 1	47, 0	55, 5
	21, 0	26, 2	32, 9		41, 3	48, 3	56, 9
	22, 4	27, 7	34, 5		42, 6	49, 6	58, 3
	23, 7	29, 1	36, 1		43, 8	50, 9	59, 9
	25, 0	30, 6	37, 7		Р = 0, 05	Р = 0, 01	Р = 0, 0001
	26, 3	32, 0	39, 3		Уровни значимости

 

* Число степеней свободы df – число независимых величин, участвующих в образовании того или иного параметра. Оно равно общему числу величин, по которому вычисляется параметр, минус число условий, связывающих эти величины. При вычислении критерия χ ² используются величины разрядных частот (т. е. частоты, объединенные по классовым интервалам), число которых равно к. Значение к (т. е. число классовых интервалов) в этом случае есть общее число величин, которые связаны: общим объемом выборки п, средней арифметической величиной х и средним квадратичным отклонением s. Поэтому число степеней свободы при определении χ ² будет df= k – 3 [ 2].

Определенным значениям доверительных вероятностей соответствуют так называемые уровни значимости. Вероятности 0, 95 (95 %) соответствует уровень значимости 0, 05 (5 %). Это означает, что при нормальном распределении выход за пределы принятых границ возможен в порядке случайности с вероятностью 0, 05, т. е. в 5 % случаев. При вероятности 0, 99 уровень значимости 0, 01 (1 %). Случайное отклонение возможно лишь с вероятностью 0, 01, т. е. 1 % из 100 случаев; при вероятности 0, 999 случайное отклонение возможно лишь в 1 % из 1000 случаев.

При оценке критерия χ ² можно считать, что различие будет достоверным с вероятностью 0, 99 при уровне значимости 0, 01, т. е. можно сказать, что только в одном случае из 100 значение χ ² будет больше табличного.

Обычно при определении достоверности критерия χ ² принимают, что различие достоверно не с какой-то вероятностью, а при первом (Р = 0, 05), втором (Р = 0, 01) или третьем (Р = 0, 001) уровнях значимости.

Таким образом, можно записать, что нормальность распределения принимается при χ ² ≤ χ ²_{0, 95} и отвергается при χ ² > χ ²_{0, 95.}

Формула для оценки различий по критерию χ ² имеет вид

df=(n_э –n _{т )} ² / n _т

где n_э – эмпирическая численность,

n _т – теоретическая численность.

Для оценки различий между теоретическим и эмпирическим распределениями размерного признака (например, длины тела) заполняют таблицу П.16.2.

Таблица П.16.2 – Оценка различий между эмпирическим и теоретическим распределениями

Классовые интервалы, см	Численность	Оценка различий
Эмпирическая, nэ	Теоретическая, n т	nэ –n т	(nэ –n т )2	(nэ –n т )2 n т
	2	3
143, 5-147, 4			-1		0, 07
147, 5-151, 4
151, 5-155, 4			-4		0, 62
155, 5-159, 4					0, 95
159, 5-163, 4			-2		0, 13
163, 5-167, 4	13	13	-	-	-
167, 5-171, 4					0, 06
171, 5-175, 4		-
	п = 124	п = 124	-	-	χ 2 = 1, 83

Крайние частоты теоретического ряда, имеющие численность меньше 5, объединяются в один класс. Соответственно объединяются частоты в эмпирическом ряду (число классов должно быть после этого одинаковым). Значение χ ² для определения числа степеней свободы вычисляется после объединения.

Число степеней свободы в нашем примере df = k -3 = 5-3=2.

По таблице П.16.1 имеем следующие границы значения χ ² для этого числа степеней свободы:

Р_{0, 95} = 6, 0; Р _{0, 99} =9, 2; Р _{0, 999} =13, 8.

Полученное значения χ ² =1, 83 не превышает первого уровня значимости, следовательно, распределение по длине тела в данной выборке можно считать нормальным.