Используя формулы (10) и (11), находим

 

(12)

После соприкосновения груза со столом сила упругости Т обращается в нуль (нить должна в момент соприкосновения соскользнуть со шкива). Дальнейшее вращение маятника под действием сил трения в опоре становиться замедленным и описывается уравнением

(13)

Предполагая, что в течении всего времени вращения маятника момент сил трения в опоре не изменяется, т.е. , уравнение (13)можно проинтегрировать следующим образом

, (14)

где - угловая скорость в момент соприкосновения груза со столом, - промежуток времени от момента соприкосновения груза со столом до остановки маятника. Это время измеряется секундомером ЭС-2. Элементарное интегрирование приводит уравнение (14) к виду

. (15) Учитывая теперь, что , из (10) с помощью (11) находим

(16)

что после подстановки в (15) дает

(17)

Принимая во внимание соотношения (11), (12), (17) и вводя диаметр шкива , систему уравнений (8), (9) можно представить в виде

(18)

(19)

Уравнения (18) и (19) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными I и Т. Все остальные входящие в них величины, за исключением g=9, 8 м/с², определяются экспериментально в прямых измерениях.

Исключая из (19) с помощью (18) неизвестную Т, получаем формулу для измерения момента инерции крестообразного маятника относительно оси вращения

(20)

Изменяя массу подвешенного к нити груза, можно изменять силы упругости нити и трения в опоре (а, следовательно, и их моменты). Однако при этом, как следует из уравнения движения (9), при заданном расположении грузов m¢ на стержнях маятника или при их отсутствии отношение модулей суммарного момента сил и углового ускорения маятника должно оставаться неизменным, т.е.

Это следует из определения момента инерции как физической величины. Следовательно, если, проделав опыт с различными грузами m₁, m₂, m₃…, мы получим в результате расчетов по формуле (20) одинаковые значения моментов инерции маятника I₁, I₂, I₃…, то можно сделать заключение о справедливости уравнения вращательного движения маятника (9). При этом результаты косвенных измерений считаются одинаковыми в пределах погрешностей, т.е. I₁=I₂=I₃=…, если пересекаются их доверительные интервалы. Практически это легко установить, отложив на вещественной оси в выбранном масштабе средние значения , окруженные соответствующими доверительными интервалами , , …,

При проверки свойства аддитивности момента инерции (т.е. того, что момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций любых частей этого тела относительно той же оси) и изучении характера зависимости момента инерции крестообразного маятника от распределения масс относительно оси вращения, будем обозначать момент инерции маятника без грузов m¢ на стержнях (рис.1.3.2) через , а с закрепленными на них четырьмя грузами – через . Тогда, пренебрегая размерами грузов по сравнению с размерами стержней, в соответствии со свойством аддитивности момента инерции можно записать

(21)

где l – расстояние от центра закрепленного на стержне груза до оси вращения, m¢ - масса одного груза. Как видно из рис.1.3.2,

(22)

где d –диаметр шкива, х – длина закрепленного груза, S – расстояние до ближайшего торца этого груза.

 

Порядок выполнения работы

Упражнение 1. Измерение момента инерции крестообразного маятника без грузов и проверки уравнения динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

1. Снять со стержней маятника цилиндрические грузы.

2. Измерить диаметр шкива d штангенциркулем.

3. Измерить массу m₁ груза, подвешенного к нити.

4. Намотать на шкив нить с грузом так чтобы находясь на площадке, груз натягивал нить.

5. Включить секундомер с помощью тумблера “Сеть” на панелях и установить их на нуль.

6. Привести груз в движение, освободив площадку. Время движения груза до касания со столом измерить секундомером ЭС-1.

7. В момент касания грузом стола нажать кнопку “Пуск” секундомера ЭС-2 и измерить время вращения маятника до остановки.

 

Замечание. В момент касания нить должна соскользнуть со шкива.

8. Вычислить момент инерции крестообразного маятника без грузов m¢ по формуле (20).

9. Повторить действия по пунктам 1-8 для груза m₂ , а затем - m₃.

10. Убедиться в равенстве (в пределах погрешностей) моментов инерции I_1, I₂ , I₃ , измеренных при проведении опытов с массами m₁ , m_2, m₃ соответственно.

 

Упражнение 2. Изучение зависимости момента инерции крестообразного маятника от распределения его массы относительно оси вращения и проверка свойства аддитивности момента инерции.

1. Надеть грузы m¢ на стержни и расположить их на одинаковом расстоянии l от оси вращения. После закрепления убедиться, что маятник находиться в состоянии безразличного равновесия (сбалансирован).

2. Подвесить к нити какой – либо груз m и провести все измерения, необходимые для определения момента инерции маятника, как в упражнении 1 (п.п. 1-8), не менее чем для трех различных расстояний l₁, l₂, l₃.

3. Рассчитать по формуле (20) момент инерции маятника с закрепленными на стержнях грузами m¢ для всех установленных расстояний.

4. Выбрав какое – либо измеренное значение момента инерции маятника без грузов I₀ и измерив массу m¢, построить в удобном масштабе график функции I(l) по формуле (21) (парабола с вершиной в точке I₀).

5. Изобразить на плоскости графика I(l) точки, соответствующие результатам расчета момента инерции маятника по формуле (20) для всех установленных расстояний, и по их расположению относительно построенной кривой сделать вывод о справедливости соотношения (21).

 

 

Контрольные вопросы

1. С какими физическими величинами вы познакомились при изучении теории и в процессе выполнения работы? Дайте определение этих величин.

2. Какие физические законы необходимо знать для понимания настоящей лабораторной работы? Сформулируйте эти законы в математической и словесной формах.

3. Обоснуйте вывод расчетной формулы (20), сформулировав все необходимые для него упрощающие предположения.

4. Каким образом на приборе Обербека можно проверить уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси? Какие экспериментальные данные подтверждают справедливость этого уравнения.

5. Являются ли момент инерции аддитивной величиной. Ответ подтвердите с помощью полученных экспериментальных данных.

6. Как зависит момент инерции тела от характера распределения его массы относительно оси? Как эта зависимость устанавливается в настоящей работе?

Литература

 

1. Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1988. т.1. - §§ 2, 5, 36-43.

2. Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1989. т.1. - §§ 5–8, 11-14, 28-34.

Лабораторная работа № 1.4.

 

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОДУЛЯ СДВИГА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

 

Цель работы:

 

4. Изучить динамику и кинематику крутильных колебаний.

5. Измерить моменты инерции твердых тел методом крутильных колебаний.

6. Измерить модуль сдвига проволоки.