Нелинейные алгебраические уравнения

При моделировании экономических ситуаций часто приходится решать уравнения вида: f(x, p₁, p₂, …, p_n)=0 (1)

где f - заданная функция, x - неизвестная переменная, p₁, p₂, …, p_n - параметры модели.

Решение таких уравнений может быть как самостоятельной задачей, так и частью более сложных задач. Как правило, исследователя интересует поведение решения в зависимости от параметров p_k , k=1, n.

Решениями или корнями уравнения (1) называют такие значения переменной x, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество.

Только для линейных или простейших нелинейных уравнений удается найти решение в аналитической форме, т.е. записать формулу, выражающую искомую величину x в явном виде через параметры.

В большинстве же случаев приходится решать уравнение (1) численными методами, в которых процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близко к точному.

Рассмотрим последовательность действий для получения решения нелинейного уравнения в среде электронной таблицы.

Пусть надо решить уравнение вида: (2)

Сформируем лист электронной таблицы, как показано на рис.1.

рис.1.

Уравнение (2) запишем в клетку С5, начиная со знака равенства, а вместо переменной x укажем адрес клетки В5, которая содержит значение начального приближения решения.

Метод, применяемый в EXCEL для решения таких уравнений – модифицированный конечными разностями метод Ньютона, который позволяет не сильно заботиться о начальном приближении, как этого требуют другие численные методы решения уравнений. Единственно, что следует учесть – это то, что будет найдено решение ближайшее к выбранному начальному приближению.

Для получения решения уравнения (2) надо выполнить следующую последовательность действий:

рис.2.

• Выполнить команду Сервис/Подбор параметра
• … (получим лист электронной таблицы, как показано на рис.2)
• Заполнить диалоговое окно Подбор параметра…:
• Кликнуть левой клавишей мыши в поле Установить в ячейке, после появления в нем курсора, переместить указатель мыши и кликнуть на клетке с формулой, в нашем случае это клетка С5, абсолютный адрес которой $C$5 появится в поле;
• В поле Значение: ввести значение правой части уравнения (2), в нашем случае это значение =1.
• В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес клетки где задано начальное приближение решения, в нашем случае это клетка В5.
• После выполнения пунктов 1-2 страница электронной таблицы будет выглядеть так, как показано на рис.2.

После нажатия на кнопке ОК появится окно Результат Подбора Параметра, в котором дается информация о том, найдено ли решение, чему равно и какова точность полученного решения. Для нашего примера Результат Подбора Параметра показан на рис.3. При значении аргумента 126, 8856472 функция, стоящая в левой части уравнения (2) равна 0, 999007196. Достигнутая точность удовлетворяет.

рис.3.

Если полученные значения следует отразить на листе электронной таблицы, то надо кликнуть на кнопке ОК, если же нет – то на кнопку Отмена. В первом случае, найденные значения зафиксируются в клетках В5 и С5.

Численные методы решения хороши тем, что можно получить приближенное решение с заданной точностью. EXCEL имеет возможность управлять выбором точности. Для этого надо выполнить команду Сервис/Параметры/Вычисления и в соответствующих полях установить значения относительной погрешности и количества итераций(рис.4.).

рис.4.

Задание #2

Выполнить подбор параметра (х) для следующих функций:

, где y= 4, 7, -23

, где y=9, 23, 4.6