Приклад розв'язання завдання

Нехай потрібно визначити розрядність мікропроцесора для цифрової системи, призначеної для вироблення керувальних сигналів обчислення функції одного аргумента вигляду y = 0, 1sinx.

Відомим є таке: величина x змінюється в межах –10 < x < 10; середня квадратична помилка s_x визначення аргумента дорівнює 5·10^–4; допустиме значення середньої квадратичної помилки обчислення керувального сигналу – 9·10^–4; середнє квадратичне значення помилки методу обчислення функції sin x – 5·10^–4; кількість операцій множення/ділення N в інтераційному процесі обчислення значення sinx – 1200. При розрахунку довжини розрядної сітки для пристрою з фіксованою точкою будемо виходити з пропозиції, що задачу сформульовано у вигляді y = Φ (Х), де Х — n-мірний вектор аргументів, y —вихідний сигнал. Структурну схему формування сигналу y показано на рис. 14.

 

Рис. 14

 

Вхідна інформація Х через відповідні перетворювачі й комутатор (ПСО) надходить на регістр R_x, з якого подається або в пам'ять пристрою (ЗП), або в операційний пристрій (ОП), який здійснює оброблення сигналів за заданим алгоритмом, обчислюючи вихідний сигнал Y, що надходить на вихідний регістр R_y. Задача розрахунку довжини розрядної сітки полягає у визначенні розрядності регістрів R_y і R_x і довжини розрядної сітки операційного пристрою R_оп.

При розрахунку довжини розрядної сітки необхідно враховувати такі можливі джерела помилок:

– під час будування математичної моделі функцію Φ (Х) зазвичай заміняють деякою досить близькою до неї апроксимувальною функцією F (Х);

– на вхідний регістр R_x надходять не точні значення аргументів x_i, а їхні наближені значення ; у такий спосіб буде обчислюватися не функція F (Х), а функція F (X^*);

– функція F (Х) зазвичай є неарифметичною, тобто при її реалізації використовуються деякі числові методи, які також вносять відповідну помилку; тому насправді замість F (X ^*) буде обчислено функцію F ^*(X ^*) [6].

Довжина розрядної сітки операційного пристрою є обмеженою. Тому помилки, що виникають під час виконання кожної операції, будуть трансформуватися через усі наступні етапи процесу. Це призведе до того, що в пристрої замість функції F ^*(X ^*) буде отримано значення функції F ^**(X ^*). Загальну помилку на виході системи можна подати таким чином:

 

,

де D₀ = Ф (Х) – F (X) — методологічна помилка;

D₁ = F (X) – F (X ^*) — трансформована помилка;

D₂ = F (X ^*) – F ^*(X ^*) — методична помилка;

D₃ = F ^*(X ^*) – F ^**(X ^*) — інструментальна помилка.

Методологічна помилка відображає особливості теорії, що використовується для будування математичної моделі процесу. Її значення обумовлені розбіжністю між реальним поводженням системи внаслідок впливу зовнішніх збурень і поводженням математичної моделі процесу, яку прийнято за основу при проектуванні СО. Надалі для простоти будемо вважати, що методологічна помилка дорівнює нулю.

Вхідні аргументи x_i також визначаються деякою помилкою , яка під час роботи пристрою трансформується через усі етапи обчислень. Розмір трансформованої помилки на виході пристрою істотно залежить від виду функції Ф (Х) і розмірів помилок Δ x_i. Граничне абсолютне значення трансформованої помилки можна визначити із співвідношення

 

.

 

Величина D₁ відповідає дійсному максимуму лише тоді, коли усі складові мають однакові знаки і максимальні значення. Оскільки зазначені умови виконуються рідко, на практиці частіше використовують середнє квадратичне значення δ _т трансформованої помилки, що за умови незалежності аргументів x_i визначається формулою

 

,

 

де — середнє квадратичне значення помилки визначення аргумента x_i.

Методична помилка визначається прийнятим методом визначення F (X ^*) і її можна зменшити до досить малих розмірів. Якщо метод визначення F (X ^*) є відомим, то визначення D₂ , а отже, і δ ₂ зазвичай не викликає труднощів.

Помилка четвертого типу є інструментальною помилкою. Наявність цієї помилки зумовлена кінцевою кількістю розрядів, призначених для зображення значень, і необхідністю округлення результатів елементарних операцій. Результуюча інструментальна помилка на виході становить в першому наближенні таку помилку, що накопичилася під час виконання ланцюжків послідовних елементарних операцій з округленнями. Фактично кожна з помилок округлення, що знову виникає, при виконанні програми трансформується через наступні етапи обчислювального процесу.

Оцінимо приблизно інструментальну помилку за умови, що абсолютне значення помилки D₃ є сумою незалежних помилок округлення, які накопичилися внаслідок виконання операцій складання-віднімання (), множення () та ділення (D_: ^*). Тоді справедливою є рівність . Якщо позначити через , , кількість операцій складання-віднімання, множення й ділення відповідно, а через δ ₊, δ _х, δ _: — помилки однократних округлень, що виникають під час виконання цих операцій, то значення D₃ можна знайти за виразом

 

.

 

Помилки округлення δ ₊, δ _х, δ _: є функціями випадкових величин. Якщо закони розподілу цих величин є відомими, то можна визначити закони розподілу помилок округлення елементарних операцій та їхні ймовірнісні характеристики.

Аналіз помилок округлення при виконанні елементарних операцій над даними у форматі з фіксованою точкою проведемо з урахуванням таких допущень:

- система числення є позиційною з основою β (нехай β = 2);

- числа, що беруть участь в елементарних операціях, є меншими за одиницю; переповнення розрядної сітки виключається з допомогою масштабування;

- округлення виконується за правилом: у молодший розряд числа, що залишається після округлення, добавляється одиниця, якщо в старшому з відкидуваних розрядів записано цифру, яка більше або дорівнює 0, 5; у протилежному випадку до молодшого розряду додається нуль.

Позначимо через n кількість розрядів (беззнакових), призначених для зображення мантиси числа, а через ε ₀ - помилку однократного округлення мантиси.

Значення помилки ε ₀ не перевищує половини ціни молодшого розряду й рівномірно розподілене в таких межах:

 

.

 

Щільність g (ε ₀) розподілу помилки ε ₀ визначається рівністю g (ε ₀) = β ^{– n}. Отже, математичне сподівання помилки M [ ε ₀] дорівнює нулю, дисперсія помилки

 

 

D [ ε ₀] = ,

 

а середнє квадратичне значення

 

 

При виконанні елементарних операцій (множення й ділення) над даними у форматі з фіксованою точкою тільки округлюються результати.

Тому справджуються такі рівності:

 

 

Помилки виконання елементарних операцій є незалежними, тому середні квадратичні значення накопичених помилок визначаються таким чином:

 

.

 

Якщо позначити через сумарну довжину ланцюжків операцій множення й ділення, то середнє квадратичне значення δ _n інструментальної помилки операційного пристрою з фіксованою точкою можна оцінити за формулою

 

Розрядна сітка вибирається таким чином, щоб результуюча помилка обчислення значення сигналу не перевищувала деякого наперед заданого значення. Виконання умови має досягатися з використанням найменшої кількості розрядів.

Якщо реалізується єдина функція y = F (X), то розрахунок розрядної сітки полягає у визначенні розрядності регістрів R_x, R_y та операційного пристрою R_оп. Припустимо, що на основі аналізу технічного завдання й алгоритмів роботи системи є відомими:

а) дані про реалізовану функцію y = F (X), максимально допустиме середнє квадратичне значення помилки обчислення значення сигналу Y – ;

б) дані щодо вхідних змінних:

– межі змінення x_i – ;

– значення середньоквадратичних помилок знаходження

в) довідка про вибрані кількісний метод і алгоритм реалізації:

– середнє квадратичне значення помилки кількісного методу δ _м;

– максимальна довжина ланцюжка операцій множення й ділення .

В операційних пристроях з фіксованою точкою максимальне значення зображуваних чисел визначається розміром 1 – β ^{– n} , де n — кількість розрядів зображення мантиси числа, і виникає необхідність масштабування змінних.

Припустимо, що реальній змінній z відповідає машинна змінна , модуль значення якої не повинен переверщувати значення
1 – β ^{– n} . Зв'язок між реальною і машинною змінними виразимо як масштабний коефіцієнт M_z (масштаб) таким чином: . При цьому масштабний коеффіцієнт визначається з нерівності

 

.

 

Оскільки ç z ê _max = 1 – β ^{– n}, то .

Для пристроїв, що працюють із використанням двійкової системи числення, значення M_z зручно вибирати як цілий степінь числа 2 (). При цьому значення P_z має відповідати умові

 

,

 

де Е (α) — ціла частина від α, не більша, ніж α.

Знаючи значення , можна розрахувати масштаби за формулою

 

.

 

Максимальне значення Y _max визначається за функцією y = F (X) межами зміни аргументів. Масштаб за змінною y визначається аналогічно описаному.

Розрядність вхідного регістра, необхідну для зберігання значущої частини i -го аргумента із заданою точністю, можна розрахувати за формулою

 

,

 

де — максимальне значення модуля i -го аргумента;

— середнє квадратичне значення помилки визначення i -го аргумента.

При цьому значення молодшого розряду містить не більше за середнє квадратичне значення помилки визначення аргумента, але й не менше половини цього значення.

Після масштабування аргумента може статися, що перед першою значущою цифрою двійкового зображення числа x_i виявиться нулів. Кількість нульових розрядів вхідного регістра можно знайти за виразом

 

 

де P_i — показник степеня числа 2 у масштабі i -го аргумента.

Тоді розрядність регістра для приймання числа x_i визначається як

 

.

 

Остаточно розрядність регістра R_x для приймання вхідних аргументів можна визначити як максимальну необхідну розрядність для приймання x_i за формулою

 

.

 

Розрядність вихідного регістра визначається аналогічно. При цьому кількість розрядів для значущої частини у припущенні, що значення молодшого розряду не перевершує розмірів , визначається за формулою

 

.

 

Після масштабування y може виявитися, що першу цифру зліва необхідно доповнити нулями. Кількість нулів визначається за формулою

 

 

У підсумку розрядність вихідного регістра

.

Розрахуємо довжину розрядної сітки СО (див. рис. 14). Позначимо через Т ціну молодшого з R_x розрядів зображення вхідної величини. Тоді значення числа двійкових позицій між розрядом операційного пристрою з ціною і розрядом, що містить не більше за середнє квадратичне значення інструментальної помилки і не менше половини цього значення, можна визначити за формулою

 

.

 

Допустиме значення інстументальної помилки у розмірності вихідної величини

 

 

Оскільки рівності і є правильними,

.

 

Для компенсації помилок округлення є необхідною деяка кількість додаткових розрядів операційного пристрою (рис. 15). Можна показати, що інструментальна помилка, яка накопичується внаслідок послідовних округлень, потребує для компенсації розрядів, тому що середнє квадратичне значення інструментальної помилки дорівнює

Рис. 15

 

Кількість розрядів операційного пристрою R_оп, що забезпечує задану точність обчислень, визначається відповідно до виразу

 

R_оп = R_x + S',

 

де

 

У випадку використання загального запам‘ятовувалього пристрою для чисел і команд розрядність машинного слова має бути кратною розрядності команди.

Розрахунок розрядної сітки доцільно робити в такому порядку:

– маштабування змінних задачі;

– послідовний розрахунок значень ;

– остаточний вибір значення ;

– обчислення значень ;

– обчислення розмірів s_т, , S;

– розрахунок значення G;

– визначення розрядності операційного пристрою.

 

Розв‘язання

1. Робимо масштабування змінних:

– масштаб за x вибираємо таким:

;

P_x = E (log₂10) + 1 = 4;

 

– масштаб за y визначаємо з формул

 

y _max = 0, 1,

 

,

 

P_y ≥ E (log₂0, 1) + 1 = –3,

 

P_y = –1.

 

2. Розраховуємо значення R_x:

– складові і визначаємо за формулами

 

.

 

Звідси випливає, що

 

.

 

3. Розраховуємо значення R_y:

– складові і визначаємо за формулами

 

,

;

– остаточно для R_y отримуємо

 

.

 

4. Обчислюємо значення параметрів, необхідних для розрахунку R_оп:

 

 

5. Розраховуємо значення діапазону:

 

.

 

6. Визначаємо розрядність операційного пристрою.

Значення S ' = 0, оскільки S – G = –1 < 0. Тому справджується рівність

 

R_оп = R_x =15.

За максимальним значенням розмірів R_x і R_y можна вибрати розрядність шини даних (ШД) мікропроцесора. Розрядність регістра-акумулятора мікропроцесора має відповідати розрядності регістра операційного пристрою R_оп.