Формула полной вероятности и формула Байеса

 

Определение. Набор событий называется полной группой событий, если они попарно несовместны и их сумма составляет достоверное событие

Формула полной вероятности. Пусть события образуют полную группу событий () и событие А может произойти с одним и только с одним из этих событий. Тогда вероятность события А равна

.

 

 

Пример 5.1. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0, 45; в противном случае — в 0, 25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0, 40. Чему равна вероятность заключения контракта для этой фирмы?

Решение. А = «фирма заключит контракт»; = «конкурент выдвинет свои предложения»; = «конкурент не выдвинет свои предложения». По условию задачи , . Условные вероятности по заключению контракта для фирмы , . По формуле полной вероятности

,

Ответ:

Формула Байеса. Если событие А произошло, то условные вероятности (апостериорные) гипотез вычисляются по формуле Байеса

,

где Р (А) — вероятность события А, вычисленная по формуле полной вероятности.

 

 

Пример 5.2. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0, 15; 0, 70 и 0, 15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0, 60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0, 30, когда ситуация посредственная, и с вероятностью 0, 10, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?

Решение. А = «индекс экономического состояния страны возрастет», Н ₁ =
= «экономическая ситуация в стране «хорошая», Н ₂ = «экономическая ситуация в стране «посредственная», Н ₃ = «экономическая ситуация в стране «плохая». По условию: , , . Условные вероятности: , , . Требуется найти вероятность . Находим ее по формуле Байеса

,

Ответ: