Равновесие газа в поле силы тяжести

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (3.8) и (3.10) носят общий характер и могут быть использованы и для сжимаемой жидкости (газа).

При постоянной плотности газа во всем рассматриваемом объеме (ρ =const) распределение давления будет аналогичным, как в капельной жидкости. Проведя рассуждения, аналогичные подразделу 3.3, получим уравнения, аналогичные уравнениям (3.13) и (3.15). Уравнение (3.16) для газа не имеет смысла, так как свободной поверхности в газе нет.

В случае непостоянной плотности газа (ρ =var), как это имеет место в атмосфере Земли (рис. 3.6), при проведении расчетов необходимо учитывать уравнение Клапейрона-Менделеева (2.12). Такое состояние называется изотермическим. Подставим значение ρ из уравнения (2.12) в уравнение (3.11). В результате получим:

 

(3.17) или (3.18)

 

Проинтегрируем уравнение (3.18)

 

(3.19)

 

С учетом граничных условий на поверхности Земли, т.е. р=р_атм0 (р_атм0 – атмосферное давление на уровне моря), а z =0, определим Подставим значение С₁ в уравнение (3.19):

 

Заменим z на h_i и решим относительно р:

 

(3.20)

где Т – средняя абсолютная температура столба газа высотой h, К

Уравнение (3.20) называется барометрической формулой. Оно показывает, что давление в покоящемся газе при изотермическом состоянии уменьшается с увеличением высоты над уровнем моря рассматриваемой точки по экспоненциальному закону. В технических расчетах можно принимать р_атм0 =0, 1 МПа.