Упражнение 4. Восстановите скобки в следующих формулах:

 

Восстановите скобки в следующих формулах:

1. р Ù q É r;

2. Ø q É (p Ú Ø r) Ù q;

3. р É q º р Ù Ø r É р Ú q;

4. р Ù q É r º р É (q É r).

При табличном построении логики высказываний логические константы определяются посредством таблиц истинности. При этом принимается, что каждое высказывание имеет одно значение — или “истина”, или “ложь”.

Приведем эти табличные определения логических констант еще раз:

 

А	В	А Ù В	A Ú В	А É В	А º В
и	и	и	и	и	и
и	л	л	и	л	л
л	и	л	и	и	л
л	л	л	л	и	и

 

Назовем формулу, являющуюся пропозициональной переменной, элементарной, формулу, содержащую логические константы, — сложной. В сложной формуле можно выделить логическую константу, называемую главной логической константой формулы. Поясним, как это можно сделать.

Каждую сложную формулу логики высказываний можно единственным образом представить в виде Ø А, или А Ù В, или A Ú В, А É В или А º В. Буквами А и В здесь обозначаются формулы, являющиеся частями сложной формулы. Подформулы, конечно, в свою очередь могут быть сложными формулами.

Представив таким образом сложную формулу, мы выделяем в ней последнюю по построению логическую константу, которая и называется главной логической константой формулы.

Найдем главную логическую константу формулы Ø p Ú q É p Ù Ø q.

Восстановим скобки в этой формуле:

 

(( Ø p Ú q) É (р Ù Ø q)).

 

Эту формулу единственным образом можно представить в форме А É В. Ее главным знаком является знак импликации. Можно представить в виде “дерева” процесс построения этой формулы:

 

р				q
i				^
^р		< l	Р
1^		^	^	^
Ьр	V			(pn^q)
	2			4
	^			i

p q

↓ ↓

Ø p q p Ø q

1 ↓ ↓ ↓ 3 ↓

( Ø p Ú q) (p Ù Ø q)

2 4

↓ ↓

(( Ø p Ú q) É (p Ù Ø q))

5

 

Стрелки показывают, что из формул (или формулы), от которых они направлены, образована формула, к которой они направлены. Цифры под логическими константами указывают порядковый номер константы по построению формулы. Последняя по построению константа имеет номер 5.