ПРИНЦИП МНОГОЗНАЧНОСТИ

- положение, в соответствии с которым всякое высказывание имеет одно (и только одно) из трех или более истинностных значений. П. м. лежит в основе многозначной логики и противопоставляется лежащему в фундаменте классической логики двузначности принципу. Согласно последнему, всякое высказывание является либо истинным, либо ложным, т. е. принимает одно из двух возможных истинностных значений — «истинно» и «ложно». П. м. говорит, что высказывание имеет одно из п значений истинности, где и больше двух и может быть как конечным, так и бесконечным.

Первыми логическими системами, опирающимися на П. м., были трехзначная логика Я. Лукасевича (1920 г.) и n -значная логика Э. Поста (1921 г.), в которой высказываниям приписывались значения из конечного множества натуральных чисел 1, 2,..., п, где п больше единицы и конечно.

Введение в логику многозначных систем с особой остротой поставило проблему содержательно ясной интерпретации формальных логических построений. Как только допускается более двух значений истинности, встает вопрос: что, собственно, означают промежуточные между истиной и ложью значения? Если истина понимается как соответствие мысли действительному положению дел, то существуют ли вообще высказывания, не являющиеся ни соответствующими действительности, ни несоответствующими ей? Введение промежуточных значений истинности изменяет смысл самих понятий истины и лжи. Поэтому нужно не просто говорить о придании смысла промежуточным значениям истинности, но и о переистолковании данных двух понятий. Истина и ложь, как они понимаются в классической двузначной логике, несовместимы с допускаемыми П. м. дополнительными значениями истинности.

Несмотря на большое число предложенных многозначных систем и предпринятых попыток их содержательного обоснования, идея, что логика, предполагающая более двух значений истинности, не является «формальным упражнением», все еще не кажется бесспорной.

Обычно предполагается, что в случае допущения более двух значений истинности крайними значениями являются «явная истина» и «явная ложь», а промежуточные значения представляют постепенно убывающие градации истины и постепенно возрастающие градации лжи. В предельном случае трехзначной логики промежуточное между «истинно» и «ложно» значение истолковывается как некоторая «неопределенность» («возможность», «проблематичность» и т. п.), равноотстоящая от обоих, достаточно ясных и определенных полюсов.

Имеется и другой возможный подход к обоснованию многозначной логики и лежащего в ее основе П. м. Можно считать, что между истиной и ложью нет никаких промежуточных значений и что многозначная логика имеет дело не с «расщеплением» истины на систему выделенных значений и лжи — на систему невыделенных, а с некоторыми дополнительными характеристиками высказываний, отличными от их истинностных значений. В этом случае нет необходимости настаивать на том, что наряду с истиной и ложью имеются иные истинностные значения. Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным, но многозначная логика, в отличие от двузначной, стремится учесть не только это обстоятельство, но и особенности той области, в которой истинно высказывание, метод, с помощью которого устанавливается его истинность и т. д.

Напр., А. Роузом была построена девятизначная логика, в которой геометрическим высказываниям приписываются значения: 1 — «истинно в геометриях Евклида, Римана и Лобачевского», 2 - «истинно в геометриях Евклида и Римана, но ложно в геометрии Лобачевского», 3 — «истинно в геометриях Евклида и Лобачевского, но ложно в геометрии Римана» и т. д. Этой многозначной логикой не предполагается, что, помимо истины и лжи, имеются еще какие-то значения истинности.

Еще одним примером такого рода является четырехзначная логика, в которой высказывания делятся не только на истинные и ложные, но также на чисто абстрактные, или математические, и конкретные, содержащие ссылку на некоторые эмпирические объекты. Значение 1 приписывается истинному абстрактному высказыванию, 2 — истинному конкретному, 3 — ложному конкретному и 4 — ложному абстрактному.

Изучение логических систем, опирающихся на П. м., и сопоставление их с классической двузначной логикой показало, что ни двузначности принцип, ни П. м., лежащие в основе отдельных логических систем, не составляют фундамента логики. Двузначность и многозначность — всего лишь отдельные характеристики определенных логических систем, не раскрывающие всего своеобразия последних, а иногда даже не схватывающие существенных их черт. Логика в целом не является ни двузначной, ни многозначной.

ПРИНЦИП ОБЪЕМНОСТИ (экстенсиональности) (от лат. extentio - протяжение)

— принцип теории множеств, суть которого в том, что два множества (класса), состоящие из одних и тех же элементов, равны (совпадают, являются равнообъемными). Применительно к логике П. о. можно сформулировать так: два предиката (свойства, отношения, понятия) могут быть отождествлены друг с другом (являются неразличимыми в определенном смысле), коль скоро они имеют один и тот же объем. Так, множества, соответствующие предикатам (и соответствующим им понятиям) «равносторонние прямоугольники» и «равноугольные ромбы», одни и те же: они представляют собой множество квадратов. Эти понятия можно отождествлять между собой, сделать неразличимыми в отношении доказательства теорем. В классической логике широко используется этот принцип. Но в опытных науках П.о. постоянно нарушается: приходится различать равнообъемные понятия по свойствам, которые в них зафиксированы. Эти свойства могут быть существенными и несущественными, более существенными и менее существенными для решения различных задач. Так, два понятия - «животное, способное производить орудия труда» и «животные, обладающие мягкой мочкой уха» - равнообъемны: они выделяют, специфицируют один и тот же класс - класс людей. Но во многих случаях мы не можем их отождествлять, напр., когда пытаемся дать определение человека как общественного существа. Из двух определений «Человек есть животное, способное производить орудия труда» и «Человек есть животное, обладающее мягкой мочкой уха» мы безусловно выберем первое и отвергнем второе.