Метод реконструкції на основі зворотнього проектування

 

Тотожними перетвореннями результатів, які витікають з теореми про центральне січення, отримується вираз зворотного проектування, але одновимірною згорткою. Визначимо зображення в просторовій області за його двовимірним спектром шляхом його оберненого перетворення Фур’є:

 

. (4. 14)

 

В полярній системі координат, коли , (4.14) набирає вигляду:

 

. (4. 15)

 

Підставивши з формули (3.5) і врахувавши симетрію , з (4.15) отримаємо:

. (4. 16)

 

Підставмо вираз (3.2) у (4.16) і отримаймо формулу реконструкції за проекціями :

 

. (4. 17)

 

Звідси, зміною порядку інтеґрування по s i , отримаємо, що

 

, (4. 18)

 

де

(4. 19)

 

є імпульсною характеристикою фільтра з модулем функції передачі (частотною характеристикою) .

Формула (4.17) уможливлює реконструювання зображення за допомогою зворотнього проектування вже профільтрованих проекцій, чим усувається потреба у двовимірній згортці (4.13), що зменшує кількість обчислювальних та часових ресурсів.

Згортка і зворотнє проектування за формулою (4.18) виконується такою послідовністю операцій:

 

1) виконується одновимірна згортка по s проекцій з функцією для кожного з кутів за формулою

 

; (4. 20)

 

2) виконується зворотнє проектування за формулою

 

. (4. 21)

 

Наведені методи реконструкції побудовані на основі методів, яківипливають з інтеґральних перетворень [2] (Фур’є та Радона). Причому, задача реконструкції ставилася та розв’язувалася в неперервному випадку. На практиці отримані формули замінюються їх дискретними аналогами. Проте, отримані методи є математично коректними для ідеального випадку (коли взаємодія зондуючого випромінювання з речовиною біооб’єкта відбувається за лінійним законом, радонівський образ неперервно залежить від кута та параметра s, дані отримуються без похибки тощо) [3, 4]. В практичних задачах кожний з методів має свої недоліки та переваги з точки зору зручності реалізації, швидкодії, точності, стійкості, відсутності артефактів, можливості врахування додаткової апріорної інформації і т. д. Тому при проектуванні конкретних томоґрафів специфіка біооб’єктів, конструкцій скануючої системи, параметрів випромінювання та, навіть, наявної елементної бази для реалізації обчислювальних пристроїв впливає на вибір того чи іншого алгоритму з низки відомих, або спричиняє необхідність удосконалення їх чи синтезу нових. Наприклад, існують методи реконструкції (з розкладом в скінченні ряди, ітераційні), в яких задача зразу формулюється у дискретній формі, і розв’язання її фактично зводиться до розв’язання систем рівнянь [5].