Застосування прямого і зворотнього перетворення Фур’є для розв’язання задачі томографії

 

З теореми про центральний переріз випливає ще один метод реконструкції, який, на відміну від попереднього, не потребує проведення двовимірного перетворення Фур’є, простіший в реалізації і для деяких томоґрафічних зображень дає кращу якість реконструкції [7].

Функцію можна виразити через її двовимірний спектр за допомогою зворотнього двовимірного перетворення Фур’є:

 

. (3. 8)

Інший варіант перетворення Фур’є можна отримати, перейшовши в частотній площині до полярної системи координат . Зробивши заміну, виразивши просторові частоти через:

 

(3. 9)

отримаємо:

 

. (3. 10)

 

Підставивши з формули (3.5) і врахувавши симетрію , отримаємо:

 

. (3. 11)

 

Введемо заміну

 

(3. 12)

 

і позначимо внутрішній інтеґрал помножений на p через

 

, (3. 13)

 

тоді (3.11) набирає вигляду:

 

. (3. 14)

 

За формулами (3.12-3.14) можна записати такий метод відновлення зображення:

 

1) для радонівського образу при фіксованому куті шукаємо спектр за допомогою одновимірного прямого Фур’є перетворення;

2) множимо на ;

3) від результату знаходимо зворотнє перетворення Фур’є (3.13);

4) обчислюємо (3.12);

5) інтеґруємо функцію I за кутом j (3.14);

6) міняємо кут j і повторюємо пп. (1-5).

 

За операціями пунктів (1-3) виконується фільтрація методом прямого-оберненого перетворення Фур’є. Даний метод реконструкції є варіантом реалізації методу зворотнього проектування. Якщо замінити фільтрацію в частотній області (див. пп. (1-3) на фільтрацію в просторовій області, то можна отримати ще один варіант реконструкції, що використовує операцію згортки функцій (аналог операції добутку функцій в ізоморфному просторі функцій-образів).