Общие указания

Уравнения Лагранжа второго рода (далее – уравнения Лагранжа) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах [1].

Обобщенные координаты – независимые между собою переменные параметры системы, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени. Число обобщенных координат системы с голономными связями*) (ниже рассматриваются только такие системы) равно числу ее степеней свободы.

Уравнения Лагранжа имеют вид

 

, i = 1, 2, …, n, (1.1)

 

где n – число степеней свободы голономной системы, q_i – обобщенные координаты, – обобщенные скорости (производные обобщенных координат по времени t), Q_i – обобщенные силы, T – кинетическая энергия системы, и – частные производные кинетической энергии системы по обобщенной координате q_i и по обобщенной скорости , – производная по времени t.

Кинетическую энергию системы со стационарными связями**) (ниже рассматриваются системы именно с такими связями) целесообразно до подстановки в уравнения (1.1) представить в виде функций обобщенных координат и обобщенных скоростей

 

. (1.2)

 

Чтобы из уравнений Лагранжа (1.1) получить дифференциальные уравнения движения системы, нужно уметь:

· устанавливать число степеней свободы системы (подразд. 1.2),

· выбирать ее обобщенные координаты (подразд. 1.3),

· определять обобщенные силы (подразд. 1.4),

· составлять выражение кинетической энергии системы в обобщенных координатах (подразд. 1.5).

Выполнение этих операций будем рассматривать на следующих трех примерах.