Собственные затухающие колебания

 

На практике свободные незатухающие колебания получить невозможно, так как часть энергии тратится на выделение тепла в проводниках и излучение в пространство электромагнитных волн за пределами конденсатора и катушки индуктивности. В этих случаях колебания являются затухающими.

Уравнение затухающих колебаний получим на основе второго правила Кирхгофа с учетом напряжений на активном сопротивлении и на конденсаторе (рис. 2)

. (4)

Преобразуем уравнение (4) к виду

(5)

и, используя обозначения , , получим

. (6)

Решением дифференциального уравнения затухающих колебаний (6) при

является выражение

, (7)

где q ₀ – начальная амплитуда колебаний заряда, – циклическая частота собственных затухающих колебаний, – начальная фаза колебаний, определяемая из начальных условий. Зависимость q (t) показана на рис. 3. Качественно такие же зависимости характеризуют затухающие колебания напряжения на конденсаторе (U = q / C) и силы тока I.

Частота затухающих колебаний меньше частоты собственных незатухающих колебаний . Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону (рис. 3). Коэффициент затухания показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за единицу времени. Величина называется временем релаксации. За время амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз.

Величина, равная натуральному логарифму отношения амплитуд колебаний для двух последовательных моментов времени t и t + T, отличающихся на период, называется логарифмическим декрементом затухания . Подстановка выражения для амплитуды колебаний дает связь с коэффициентом затухания и временем релаксации: . Логарифмический декремент затухания характеризует уменьшение амплитуды колебания за один период. В соответствии с определением , логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, за которые амплитуда убывает в е раз.

С логарифмическим декрементом затухания связана добротность Q, которая определяется через отношение энергии, запасённой в контуре W (t), к энергии , теряемой за период. А поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то добротность выражается следующим образом:

. (8)

При малом затухании или . Чем выше добротность контура, тем больше колебаний совершается за время .

1.3. Вынужденные колебания

 

Для того чтобы в контуре, где есть потери энергии, создать незатухающие колебания, можно включить в контур источник тока с переменной ЭДС . Колебания, возникающие под действием внешнего гармонического воздействия, называются вынужденными колебаниями (рис. 4).

При последовательном включении источника тока в цепь в уравнении (4), записанном для замкнутого контура, необходимо учесть ЭДС источника:

. (9)

Уравнение (9) приведем к виду

, (10) , (11)

где использованы прежние обозначения: , . Решением дифференциального уравнения вынужденных колебаний (11) является уравнение гармонического колебания, которое происходит с частотой, равной частоте колебаний ЭДС внешнего источника:

, (12)

но отличается от него по фазе. Сдвиг фазы определяется по формуле

. (13)

Амплитуда вынужденных установившихся колебаний заряда зависит от частоты (рис. 5 а), и параметров контура

. (14)

Аналогичную зависимость от частоты имеет амплитуда колебаний напряжения (рис. 5 а).