Сумма и пересечение подпространств

Пусть - подпространства в . Пересечение является подпространством в . Множество всех , представимых в виде , где , образует подпространство, которое называется суммой и обозначается . Размерности указанных подпространств связаны следующим соотношением: .

Задача 9. Пусть - линейная оболочка векторов , а - линейная оболочка векторов . Найти базисы пространств , и , если .

Решение. Найдем базис пространства . Для этого приведем с помощью ЭПС матрицу, составленную из координат всех векторов, к ступенчато-треугольному виду:

.

Векторы образуют базис , а векторы образуют базис . Для нахождения базиса преобразуем матрицу, составленную из координат векторов .

.

Векторы линейно независимы, и, следовательно, образуют базис . Так как , то .

Найдем базис . Пересечение состоит из векторов, которые одновременно являются линейными комбинациями как векторов , так и векторов . Разложим векторы и , входящие в базис , но не входящие в базис , по базису . Пусть . Коэффициенты разложения определяются из системы уравнений .

Решив систему, получим разложение . Следовательно, вектор принадлежит пересечению . Разложив вектор по базису , получим, что вектор принадлежит пересечению и не зависит от вектора . Базис пересечения состоит из векторов и .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Пусть - линейная оболочка векторов , а - линейная оболочка векторов . Найти базисы пространств , и , если:

9.1. . 9.2. .

9.3. . 9.4. .

Ответы

2.1. Является. 2.2. Не является, так как сумма ненулевых векторов, лежащих на осях и соответственно, не лежит ни на одной из них. 2.3. Является, если прямая проходит через начало координат, и не является в противном случае. 2.4. Не является, так как сумма векторов, не лежащих на прямой, может лежать на ней. 2.5. Не является. 2.6. Является, если плоскость проходит через начало координат, и не является в противном случае. 2.7. Не является.

3.1. Не является, так как при умножении вектора с целыми координатами на нецелое число его координаты не останутся целыми. 3.2. Является. 3.3. Не является, так как не содержит нуля. 3.4. Является. 3.5. Является. 3.6. Не является, так как сумма расходящихся последовательностей может быть сходящейся. 3.7. Является. 3.8. Не является, так как не содержит нуля. 3.9. Является. 3.10. Является. Указание. Применив формулу косинуса суммы, эти функции можно представить в виде: .

5.1. Система линейно независима. 5.2. Система линейно зависима, так как вектор является линейной комбинацией векторов . 5.3. Система линейно зависима. 5.4. Система линейно зависима.

6.1. Ранг равен 3. 6.2. Ранг равен 3. 6.3. Ранг равен 3. 6.4. Ранг равен 2.

7.1. В пространстве базис составляет любой ненулевой вектор. В пространствах и базис состоит из пары неколлинеарных и тройки некомпланарных векторов соответственно. 7.2. В пространстве существует канонический базис, для которого числа являются координатами. Этот базис составляют векторы , у которых на месте с номером стоит единица, а на остальных местах нули. 7.3. Базис в пространстве состоит из набора функций . Координатами многочлена в этом базисе являются числа – коэффициенты разложения многочлена по степеням . 7.4. Векторы (см. задачу 7.2.) образуют базис, числа являются координатами векторов в этом базисе. 7.5. Числа однозначно определяют векторы подпространства, поэтому могут являться координатами. Соответствующий базис составляют векторы . 7.6. Базис составляют векторы , где . 7.7. К предыдущему базису надо добавить вектор, у которого на нечетных местах стоят нули, а на четных – единицы. 7.8. Числа однозначно определяют векторы подпространства, поэтому они могут являться координатами. Соответствующий базис составляют векторы , где. . 7.9, 7.10. Базисы состоят, соответственно, из четных и нечетных степеней переменной . 7.11. Каждая симметрическая матрица однозначно определяется матричными элементами , заполняющими верхнюю треугольную матрицу с диагональю. Эти элементы являются координатами в базисе, состоящем из следующих матриц: и (см. задачу 7). Размерность подпространства . 7.12. Каждая кососимметрическая матрица однозначно определяется матричными элементами , заполняющими верхнюю треугольную матрицу без главной диагонали. Эти элементы являются координатами в базисе, состоящем из следующих матриц: . Размерность подпространства .

8.1. , базис – . 8.2. , базис – .

8.3. , базис – . 8.4. , базис – .

9.1. Базис – ; базис – ; базис – ; базис – . 9.2. Базис – ; базис – ; базис – ; базис – . 9.3. Базис – ; базис – ; базис – ; базис – . 9.4. Базис – ; базис – ; базис – ; базис – .