Тема 1. Линейные пространстваМножество L называется линейным пространством, если в L введены операции сложения элементов и умножения элемента на число, обладающие следующими свойствами, которые называются аксиомами линейного пространства: 1.1. 1.3. 2.1. 2.3. Задача 1. Проверить, что множество Решение. При сложении матриц складываются элементы матрицы, стоящие на одинаковых местах, а при умножении матрицы на число все матричные элементы умножаются на это число. Таким образом, на каждом месте матрицы выполняются линейные операции с действительными числами. На множестве действительных чисел аксиомы линейного пространства, очевидно, выполнены, поэтому они выполнены и на множестве матриц. З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Проверить, что следующие множества являются линейными пространствами. 1.1. Множества 1.2. Множество 1.3. Множество 1.4. Множество Указание. Проверить выполнение аксиом линейного пространства.
|
1.2. 
; 1.4. 
; 
; 2.2. 
;
; 2.4. 
.
всех матриц размера 
относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на число является линейным пространством.
геометрических векторов на прямой, плоскости и в пространстве соответственно (линейные операции над геометрическими векторами определены по обычным правилам).
упорядоченных наборов 
чисел 
. Набор 
называется арифметическим вектором, а числа 
– его координатами. При сложении векторов складываются их координаты, а при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. Множество 
непрерывных на отрезке 
функцийс обычными операциями сложения функций и умножения их на числа.
многочленов степени не выше 
с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.
