Двокартинне комплексне креслення точки

Точка – це геометричний образ, який не має вимірів. Уся термінологія в нарисній геометрії з винятковою наочністю свідчить про те, що поняття про геометричні образи виникли внаслідок абстрагування від реальних предметів різної форми. Так, наприклад, слово точка походить від дієслова «ткнути» і означає результат миттєвого дотикання, уколу.

Проекція точки – точка. Але за однією проекцією точки А не можна однозначно визначити положення в просторі точки – оригіналу (А) бо всі точки В, С, D,..., що належать проеціюючій прямій (SА) проеціюються у точку А₁ (рис. 1.6). Тобто, рисунок точки є незворотнім.

Спроеціюємо точку А на дві площини проекцій П₁ та П₂ (рис. 1.7) із двох центрів S₁ та S₂. Прямі S₁А та S₂А задають проеціюючу площину S (S(S₁АIS₂А)). Покажемо, що проекції А₁ та А₂ однозначно визначають точку А. Дійсно, проеціюючі прямі S₁А та S₂А, як такі, що належать площині S перетинаються в єдиній точці А.

Рис. 1.6 Рис. 1.7

 

Отже, для того щоб рисунок точки був зворотнім, необхідно мати проекції її, як мінімум, на дві непаралельні площини.

Французький інженер-математик Гаспар Монж уперше запропонував здійснювати проеціювання предметів на дві взаємно перпендикулярні площини. Проеціювання при цьому залишається прямокутним (рис. 1.8).

 

Рис. 1.8

 

Оскільки П₁^П₂, а проеціюючі промені S^П₁ і М^П₂, то лінія яка з’єднує проекції точки АÞА₁А₂ перпендикулярна осі проекцій Х₁₂. А₂А₁₂^Х₁₂; А₁А₁₂^Х₁₂.

П₁ – горизонтальна площина проекцій; П₂ – фронтальна площина проекцій; Х₁₂ – вісь проекцій – лінія перетину площин П₁ і П₂; А₁–горизонтальна проекція точки А; А₂ – фронтальна проекція точки А. Лінію А₁А₂ (лінія, яка з’єднує горизонтальну і фронтальну проекції точки А) називають вертикальною лінією зв’язку.

 

 

Рис. 1.9

 

Якщо обернути площину проекцій П₁ навколо осі Х₁₂ на кут 90⁰ до суміщення її з площиною проекцій П₂ (рис. 1.9), отримаємо плоске креслення, в якому проекції точки А₁ і А₂ розташовані на одному перпендикулярі до осі Х₁₂. Цей перпендикуляр називають вертикальною лінією зв’язку. Одержане креслення отримало назву епюр Монжа. При цьому відрізок А₂А₁₂ визначає відстань від точки А до площини П₁, а відрізок А₁А₁₂ визначає відстань від точки А до площини П₂.

Для простоти побудов надалі комплексне креслення точки в системі двох площин проекцій будемо зображати так, як показано на рис. 1.10.

 

 

 

Рис. 1.10