Приклад. Квадратичну форму звести до канонічного вигляду ортогональним пере- (Квадратичну форму звести до канонічного вигляду ортогональним пере-
\ 2 2 х1,х2) = 2х1 - 6х1 х2 +10х2. Л Знайдемо матрицю первинної квадратичної форми. її діагональні елементи дорівнюють коефіцієнтам при квадратах змінних, тобто 2, 10, а інші елементи - половинам відповідних коефіцієнтів квадратичної форми, тобто ' 2 -3Л А
ч-3 10У Складаємо характеристичне рівняння для матриці А: і „ і 2-Я -З А-ЯЕ = = 0 1 1 -3 10 -Я Розкриваємо визначник (2-Я)(10-Я)-(-3)(-3) = 0, 20-2Я-10Я + Я2 -9 = 0. Розв'язуємо квадратне рівняння й знаходимо власні числа: Я2 - 12 Я + 11 = 0 ]^[Я = 1; Я = 11] Знаходимо власні вектори: Г х1 - 3х2 = 0 Г х1 - 3х2 = 0 Я = 1: і ^ і
1-3х1 + 9х2 = 0 І -х1 + 3х2 = 0
Для визначення сталої С1 запишемо вираз для довжини вектора у1 через його координати і прирівняємо його до одиниці, як це потрібно у постановці задачі ортогонального перетворення:
■Г 1 Л
V 2 /О І о І 1 >/10 10 Я — 11:
Аналогічно знаходимо С2 і у2:
|у 2 І — С 2 V 12 +(-3)2 —Л0с2 — 1 ^ С2 ^ ^/Ю.
л/10 Одержуємо невироджене лінійне перетворення: у1 —-------- (3х1 + х2),
(хсі 3 Х2).
При зазначеному невиродженому лінійному перетворенні первинна квадратична форма набуде канонічного вигляду: Ь1 (іУ)= уі2 + 11 • У 2 '
6 - 66 — (9 Х1 6 Х1Х2 х>2) ++ (Х1 6 Х1Х2 9 Х2) — Х1 Хі Хо Х2 — 10 10у 1 12 2/ 10
2 x]2 - 6 х1х2 +10 xC, ►
|
