Знайти алгебраїчні доповнення Л13, Л21, Л32.
Легко помітити, що використовуючи алгебраїчні доповнення елементів, формулу (2.1) можна записати у вигляді:
А = ап (-1)1+1 Мп + «12 (-1Р М12 + «13 (-1Г' м13 = «11А11 + «12А12 + «13А13.
Аналогічно можна одержати формули для розкладання визначника за елементами будь-якого рядка або стовпця.
Наприклад, розглянемо розкладання визначника за елементами 2-го рядка. Відповідно до другої властивості визначників, при зміні другого й першого рядка матриці визначника місцями, маємо:
| «21 «22 «23 «11 «12 «13 «31 «32 «33
|
Розкладемо отриману матрицю визначника за елементами 1-го рядка.
|
| «21
| «22
| «23
|
|
| «11
| «12
| «13
|
|
| «31
| «32
| «33
|
|
|
| «11
| «12
|
| Звідси А
| =
| «21
| «22
|
|
|
| «31
| «32
|
| -«21М21 + «22М22 - «23М23 >
|
тому що визначники другого порядку у формулі (2.2) є мінори елементів «21
а22, а23.
Таким чином, Д = а21 А21 + а22А22 + а23А23, тобто ми одержали формулу для розкладання визначника за елементами 2-го рядка.
Аналогічно можна одержати формули для розкладання визначника за елементами третього рядка. Використовуючи першу властивість визначників (про транспонування), можна показати, що аналогічні розкладання справедливі і при розкладанні за елементами стовпців.
Таким чином, справедливе наступне визначення:
Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його рядка (або стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.
Це визначення справедливе й для визначників більш високого порядку.
