Доказано, что спектральные плотности выходной и входной функций связаны равенствомs„(o>) = sx(co)|cD(fo) |*. Отсюда заключаем: для того чтобы найти спектральную плотность выходной функции, надо умножить спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики. Зная же спектральную плотность выходной функции, можно найти ее корреляционную функцию [§3, формула (**)]: Ао Мт)= S SV (®) e/<w<fo>;, — ао а следовательно, и дисперсию: Dy = kv (°) = S sy (“) Со Пример 2. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением ЗУ"(/) + У <0 = 4Х' (/) + *(/), подается стационарная случайная функция X (/) с корреляционной функцией kx (т) = 6е~ 2 I * I. Найти дисперсию случайной функции У (/) на выходе системы в установившемся режиме. Решение 1. Найдем спектральную плотность выходной функции. Используя решение примера 2 (см. § 4) при D — 6 и а = 2, получим Ра 6-2 12 sx (® я (со2 + а2) я(со2+4) я(со2+4)' Найдем передаточную функцию, для чего напишем заданное уравнение в операторной форме: (3/> + 1) К (/) = (4р+!)*(/). Отсюда Следовательно, передаточная функция ф«'»=Итт- Найдем частотную характеристику, для чего заменим в передаточной функции аргумент р на ш: 4«0) + 1 Ф (ito) = 3«со +1 Найдем спектральную плотность выходной функции, для чего умножим спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характеристики: ,,, 4..TW 42 12 |4«0) + 1|2 12 16й)24-1 s„(ft>)-s*(co)|(D(ico)| — n({02 + 4)|3ttl>+i |2 л (to2 + 4) ‘ 9о>2+1 ’ Найдем искомую дисперсию: Г. -I2 С (16<оа+l)d(o 24 Г (16o)2+I)do) У~ J М®)®0—„ J (юг + 4)(9со2+1) — п J (to2 + 4)(9co2+l) ’
|
