Известно, что корреляционная функция стационарной случайной функцииЬхЮ = М[к (f)*(f + T)]. Таким образом, оценить kx(т) означает оценить математическое ожидание функции к (f) X (f + г), поэтому можно воспользоваться соотношением (*), учитывая, что функция ^(/ + т) определена при / + т^Г и, следовательно, t —т. Итак, в качестве оценки корреляционной функции эргодической стационарной случайной функции принимают Г-Т = J °x(t)x(t + i)dt (**) о Либо, что равносильно, Г-х Практически интегралы вычисляют приближенно, например по формуле прямоугольников. С этой целью делят интервал (О, Т) на п частичных интервалов длиной At = Т/п\ в каждом частичном i-м интервале выбирают одну точку, например его середину В итоге оценка (*) принимает вид П тп*х =4-[>(/1) At + х(*2) Л* + • • • +*(*„) Д*] = -у- X, x(ti). i= 1 Учитывая, что At —Т/п, окончательно получим Аналогично приближенно вычисляют интеграл (**), полагая, что т принимает значения At, 2 At,..., (п — 1) At, или, что то же, Т/п, 2 Т/п, ЗТ/п, ( п — \)Т/п. В итоге оценки корреляционной функции (**•) и (*•*•*•) принимают соответственно вид: П—1 к (i S * (*.■) * ' i=l n — l k\(l =-^rrS;c(^)^(^+/)—M2, где I = 1, 2,..., n — 1. Замечание. Можно показать, что оценка (*) — несмещенная, т. е. м\т*^\ — тх\ оценка (**) — асимптотически несмещенная, т. е. lim М [/£(т)] = /гх(т). т —► ® — Задачи Является ли стационарной случайная функция X (/) = = t*U, где U —случайная величина, причем: а) таФ О, б) тв = О? Отв. а) Нет: тх (t) Ф const; б) Нет: корреляционная функция зависит не от разности аргументов, а от каждого нз ннх. Стационарна ли случайная функция X (/) = sin (< + ф). где Ф — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (О, 2я)? Отв. Да: тх (0 = 0 = const, Kx(ii, /а) = 0,5 cos (/а— ix). Известно, что если ф — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 2п), то случайная функция X (t) = = ein (^ —f-ф) — стационарная. Можно лн отсюда непосредственно Заключить, что случайная функция Y (<)=cos (< + ф) также стационарна? Отв. Можно: изменив начало отсчета аргумента, например на п/2, стационарной функции X (/)» получим функцию Y (t). Задана случайная функция X (<)= < + U eln <+ V cos t, где U и V —случайные величины, причем М ( U) — M (V)=0, D (U)=D (V)— 5, M (UV)=0. Доказать, что: а) X (() — нестационарная функция; б) X (t) — стационарная функция. Отв. а) тх (t)Ф const; б) /я» (/) = const, Kx(tlt /,) = 5cos{/2— tt). Известна корреляционная функция kx (т) = 3е-*т" стационарной случайной функции X (<). Найти корреляционную функцию случайной функции У (t)=5X (I). Отв. kv(x)=75e~sx\ в. Задана корреляционная функция кх (т) = 2е-*т* стационарной случайной функции X (<)• Найти нормированную корреляционную функцию. Отв. рх(т) = е-т\ Заданы две стационарные случайные функции X (/)=cos (2/-)-ф) и У (<)== sin (2/ + ф), где ф—случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 2л). Доказать, что заданные функции стационарно связаны. Отв. Rxv(ti, f,) = 0,5ein 2 (/*—<i). Задана корреляционная функция кх (т) = 6е~®’*т стационарной случайной функции X (<)• Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию производной X' (t) = x. Отв. а) *. (t) = 0124e-0•*г, (1 —0,4х*); б) ZX = 0,24. а Задана корреляционная функция kx (т) = е~т стационарной случайной функции X ( t ). Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X (/) н ее производной. Отв. г. (т) =—2те-х*; т. (т) = 2те-г\ XX XX ' ' Задана корреляционная функция йЛ(т) = е“'г' стационарной t случайной функции X (<). Найти дисперсию интеграла Y (0=^ X (s)ds, о Отв. Dv(t) = 2(t + e-*—l).
|
