Решение. Воспользуемся формулойгх-(т)=*;<т). а) Пусть т^0. Тогда |т|=т, Ах(т) = е~т(1 + т), А',(т)=е-Тх XI — (1+т)е-т = — хе~х. Таким образом, при г. (т) = —те- х. XX ' б) Пусть 1 < 0. Тогда |т|=—т, Лх(т) = ет (1—т), к'х(т) = —е-1 + + (1—т)ет = — тет. Таким образом, при т< 0 г. (т)=—тет. хх ' ’ Итак, искомая взаимная корреляционная функция те-т при 15*0, rxiW ■ • т -“т при т < 0. Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции Теорема. Корреляционная функция интеграла У (О = $ X (s)ds от стационарной случайной функции о Равна Xy(tu t%) = J (/,—T)ftx(T)dx— J (tt — — x)kx(x)dx + о 0 h + <i(tl — *)kx(j)d't- (*) функция интеграла К(/) = $ X (s)ds от случайной функ- о ции X ( t) равна двойному интегралу от ее корреляционной функции (см. гл. XXIII, § 17, теорема 2): л Ку (^ji ^*) ~ $ 5 Х.х ($i> ^*) dSj; dst. О о Принимая во внимание, что корреляционная функция стационарной случайной функции зависит только от разности аргументов, т. е. Kx(slt st) = kx(st — st), получим <i О о Вычисление этого интеграла весьма громоздко, поэтому ограничимся указаниями: перейти к новым переменным X = Ss — Sj, | = Ss + SjJ начертить новую область интегрирования, ограниченную прямыми т = |, т = — т = £ — 2/х, т = —g + 2/2, и Ж 6 выполнить интегрирование по |. Двойной интеграл по области OABD можно вычис- -2t,\ лить как разность двойных интегралов по областям О АС и BDC. При интегрировании по области ODE переставить пределы интегрирования по т и перейти к новой переменной х'— — т (рис. 28). Следствие. Дисперсия интеграла Y (t) = § X (s) ds о
|
