Доказательство. По определению производной,д/-*о Приравняем математические ожидания обеих частей равенства, а затем изменим порядок нахождения математического ожидания и предела (законность изменения порядка этих операций примем без доказательства): М [X' (0] = lim М Г +. д<-*о L J Используя свойства математического ожидания, получим М [X' (0] = lim OT*('+xi~ —~ = т’х (t). Д<-*0 Итак, mi{t) = m,x(i)‘ Замечание 1. По существу доказано, что для среднеквадратически дифференцируемых случайных функций операции нахождения математического ожидания и дифференцирования можно менять местами. Действительно, запишем доказанную теорему так: Мы видим, что в левой части равенства сначала находят производную, а затем математическое ожидание; в правой части — наоборот. Пример 1. Зная математическое ожидание тх (/)= i2Jr t случайной функции X (<), найти математическое ожидание ее производной. Решение. Искомое математическое ожидание яь <0 = mi(0 = [<*+<]'=2/ +1. Замечание 2. Если первая производная дифференцируема, то производную от первой производной называют второй производной и обозначают через X” (/). Аналогично определяют производные более высоких порядков. Замечание 3. Теорему 1 можно обобщить: математическое ожидание производной порядка п равно производной этого же порядка от математического ожидания случайной функции. Теорема 2. Корреляционная функция производной от случайной функции X (t) равна второй смешанной производной от ее корреляционной функции: д-Кх (flt i2) dtt dt2
|
