Следовательно,. Kv (tlt tt)=M [К (tj Y (f а)]=М {[X (tj Ф <*,)] [X (tt) Ф </,)]}.Kv (tlt tt)=M [К (tj Y (f а)]=М {[X (tj Ф <*,)] [X ( t t) Ф </,)]}. Вынесем неслучайные множители за знак математического ожидания: Ку (tlt *,) = Ф (*г) Ф ( tt) М [X {tj Я (*,)]«ф (/*) чУшЖЛ*» *.>• Итак, Свойство 4. Абсолютная величина корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений: \KAtu tt)\<VDx(tt)Dx(t,). Доказательство. Известно, что для модуля корреляционного момента двух случайных величин справедливо неравенство (см. гл. XIV, § 17, теорема 2) 1^1<КОД. (#) При фиксированных значениях аргументов tt и tt значение корреляционной функции равно корреляционному моменту соответствующих сечений—случайных величин X (fj) и X (<а). Поэтому неравенство^) можно записать так: IКЛ*» U)\<V/Dx(tl)Dx(tt). Известно, что для оценки степени линейной зависимости двух случайных величин пользуются коэффициентом корреляции (см. гл. XIV, § 17, соотношение (*)) rxv = ^Xu/{oxav). В теории случайных функций аналогом этой характеристики служит нормированная корреляционная функция. Очевидно, что каждой паре фиксированных значений /j и t2 аргумента случайной функции X ( t ) соответствует определенный коэффициент корреляции Kx(tlt <»)/<M*i)°(**) соответствующих сечений — случайных величин X (tj и X (/,); это означает, что коэффициент корреляции случайной функции есть функция (неслучайная) двух независимых аргументов tt и t2; ее обозначают через рх (tlt t2). Дадим теперь определение нормированной корреляционной функции. Нормированной корреляционной функцией случайной функции X (0 называют неслучайную функцию двух независимых переменных и t2, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно коэффициенту корреляции сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов: Учитывая, что ах (*,) = 1/дД^) = и М*а) = = VKx(t2. *.). получим Рх(^. ^
|
