Устойчивость линейных систем.

Система всегда подвергается действию внешних возмущающих сил. Эти сил в некоторых случаях стремится вывести систему из состояние равновесия. Если равновесия с определенной точностью возвращается в состояния равновесия. Если система неустойчива, она не возвращается в состояние равновесия, а удаляется от него. Обычно под устойчивостью линейной системы понимают свойства затухания переходного процесса с течением времени.

Исследование устойчивости системы неразрывна связано с исследованием свободных движении системы, которые описывают однородным дифференциальными уравнениями с ненулевым начальными условиями.

(8.1)

Где – постоянные коэффициенты.

В общем виде решение такого уравнения записывается в виде

(8.2)

Где – постоянные, определяется начальными условиями,

Где – корни характеристического уравнение

(8.3)

Для того, чтобы система была устойчивой, решение (8.2) должна удовлетворять условию

(9.4)

т.е. свободное движение системы при должен стремится к нулю при произвольных постоянных интегрирование. Условие (8.4) является аналитическим выражением устойчивости системы и выполняется в том случае, когда все корни характеристического уравнение (8.3) имеют отрицательные вещественные части.

Случай1. Все корни уравнение (8.3) вещественные и отрицательные (), . В этом случае переходной процесс с течением времени апериодически будет стремится к нулю.

Случай 2. Уравнение (8.3) имеет хотя бы один нулевой корень, а остальные корни вещественные (разные) и отрицательные. Тогда решение уравнение имеет вид

В этом случае система будет находится на границе устойчивости, т.к нулевой корень дает постоянную составляющую, не стремящейся с течением времени к нулю.

Случай 3. Уравнение (8.3) имеет одну пару чисто мнимых сопряженных корней , а остальные вещественные (разные) и отрицательные.

Тогда

Составляющая от мнимых корней дает незатухающие гармоническое колебания с постоянной амплитудой . Система в этом случае будет неустойчивой (на границе устойчивости).

Случай 4. Характеристическое уравнение имеют комплексные сопряженные корни , остальные вещественные (разные) и отрицательные. В этом случае составляющие с переменной амплитудой

Если , то возникшее колебательные движение будет затухающим и система будет устойчиво.

Если , то колебание незатухающие и система неустойчива.

Случай 5. Уравнение (8.3) имеет – кратных корней, а остальные корни вещественные (разные) и отрицательные, тогда

Если кратные корни отрицательные, то переходной процесс затухающий и система будет устойчивой.

Таким образом условие устойчивости линейной системы выражается в том, что все корни характеристического уравнение должны располагаться в левой полуплоскости комплексной плоскости. Корни расположенные в правой полуплоскости делает систему неустойчивой. Мнимая ось плоскости корней служит границей устойчивости.

 

 

 

Рисунок 8.1. Расположения корней характеристического уравнения в комплексной плоскости

Все эти выводы справедливы только для линейных систем. На практике как правило линейной моделью.

В этом случае возникает вопрос, насколько заключение об устойчивости системы, сделанное по линеаризованным уравнениям, будет справедливо для реальных систем. На этот вопрос дан ответ в теоремах Ляпунова об устойчивости.

Теорема 1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то действительная система будет устойчива. При этом никакие, отброшенные при линеаризации уравнения члены второй и высших степеней отклонения регулируемого параметра не могут изменить устойчивость системы.

Теорема 2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то действительная система будет неустойчива. При этом никакие, отброшенные при линеаризации, члены второй и высших степеней отклонения регулируемого параметра не могут придать системе устойчивость.

Теорема 3. При наличии нулевых и чисто мнимых корней характеристического уравнение линеаризованной системы и отсутствии корней с положительной вещественной частью значения членов второго и высшего порядка могут имеет определяющее значение при оценке устойчивости системы. Поэтому устойчивость исходной системы нужно оценивать по исходным же уравнениям.