Общие сведения. Многие процессы в природе (в том числе и экономике) протекают во времениМногие процессы в природе (в том числе и экономике) протекают во времени. Такие процессы называются динамическими и для их описания обычно используются дифференциальные уравнения (или их системы). Дифференциальными уравнениями называют уравнения вида:
y’=F(x,y). (6.27)
Если в левой части уравнения находится первая производная от функции, то уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка, если вторая производная, то – второго порядка и т.д. С точки зрения решения все дифференциальные уравнения можно разделить на две группы. К первой группе относятся такие уравнения, для которых можно получить аналитическое решение, т.е. уравнение вида:
y = f(x). (6.28)
Методы решения дифференциальных уравнений описаны в соответствующей литературе. Если исследователю повезло и дифференциальное уравнение решаемо, то работать с объектом можно, используя формулу (6.28). К сожалению, подавляющая часть встречающихся на практике уравнений не имеют аналитического решения, и для их решения приходится использовать численные методы. В этом случае решение сводится к получению зависимости (6.28) в виде таблицы пар значений x - y. В общем случае дифференциальное уравнение может иметь множество решений. Для нахождения единственного решения используются дополнительные условия. На практике чаще всего встречается так называемая задача Коши. В ней условие единственности решение определяется значением функции в начальной точке:
y(x0)=y0 (6.29)
Основным недостатком численных методов является необходимость выбора шага интегрирования. Если он подобран неудачно, то получающееся решение чаще всего не имеет ничего общего с реальным решением. Кроме того, при программировании этих методов дополнительной проблемой является неустойчивость решения. Это обычно выражается в том, что программа либо аварийно завершается ввиду переполнения, либо работает неприемлемо долго.
|
